Квадратурный зеркальный фильтр ( англ. Quadrature Mirror Filter - QMF) – это фильтр, чья амплитудная характеристика представляет собой зеркальное отражение относительно π / 2 {displaystyle pi /2} амплитудной характеристики другого фильтра. Был изобретён C. Galand в сотрудничестве с D. Esteband и Croiser. Главной задачей фильтра является численная обработка сигналов и разложение сигнала на поддиапазоны. На выходе фильтр выдаёт изометрическое разложение сигнала на низкие и высокочастотные части.
Большая вероятность того, что любой входной сигнал может быть восстановлен на основе выходных сигналов, если фильтры находятся в парах. Высокочастотный фильтр связан с фильтром низких частот, вместе образуя Квадратурный зеркальный фильтр. Они служат зеркальным отражением друг друга.
Свойства
Используя такие понятие как:
- Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала: X ( w ) = ∑ n x n e − i n w {displaystyle X(w)=sum _{n}^{}x_{n}e^{-inw}}
- Z-преобразование сигнала: X ( z ) = ∑ n x n z − n {displaystyle X(z)=sum _{n}^{}x_{n}z^{-n}}
- Преобразование Фурье функции x ( t ) {displaystyle x(t)} имеет вид x ^ ( w ) = 1 2 Π ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − i w x d t {displaystyle {hat {x}}(w)={frac {1}{2Pi }}int _{-infty }^{infty }!x(t)e^{-iwx},dt}
{displaystyle }
используя эти термины, фильтр можно записать следующим образом
Y ( w ) = H ( w ) X ( w ) {displaystyle Y(w)=H(w)X(w)}
или
Y ( z ) = H ( z ) X ( z ) {displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}
фильтр H ( z ) {displaystyle H(z)} будет называться квадратурным зеркальным фильтром фильтра H ( w ) {displaystyle H(w)} , при условии что H ( z ) = H ( − w ) {displaystyle H(z)=H(-w)} , собственно поэтому фильтр получил такое название.
Спектр высокочастотного фильтра H ( e i w ) {displaystyle H(e^{iw})} это зеркальное отражение низко частотного фильтра со спектральной точкой перехода w = Π 2 {displaystyle w={frac {Pi }{2}}} как показано на картинке.
Мы хотим найти два фильтра, h {displaystyle h} (подавляющий высокие частоты) и g {displaystyle g} (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал на две компоненты, X H ( z ) {displaystyle X_{H}(z)} и X G ( z ) {displaystyle X_{G}(z)} , вдвое их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.
Пусть Y ( z ) {displaystyle Y(z)} z-преобразование одного из компонентов. Перед кодированием он прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование из Y ( z ) {displaystyle Y(z)} превращается в 1 2 ( Y ( z ) + Y ( − z ) ) {displaystyle {frac {1}{2}}(Y(z)+Y(-z))} . Подставим сюда фильтр упомянутый выше для каждого из фильтров, и получим z-преобразованный компонент перед восстановлением:
X H ( z ) ⟶ 1 2 ( H ( z ) X ( z ) + H ( − z ) X ( − z ) ) {displaystyle X_{H}(z)longrightarrow {frac {1}{2}}(H(z)X(z)+H(-z)X(-z))}
X G ( z ) ⟶ 1 2 ( G ( z ) X ( z ) + G ( − z ) X ( − z ) ) {displaystyle X_{G}(z)longrightarrow {frac {1}{2}}(G(z)X(z)+G(-z)X(-z))}
z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид H ( z − 1 ) {displaystyle H(z^{-1})} и G ( z − 1 ) {displaystyle G(z^{-1})} . Сигнал восстановится с их помощью точно, если:
X ( z ) = [ 1 2 ( H ( z − 1 ) H ( z ) G ( z − 1 ) G ( z ) X ( z ) ) {displaystyle X(z)=[{frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(z))} + 1 2 ( H ( z − 1 ) H ( z ) G ( z − 1 ) G ( z ) X ( − z ) ) ] {displaystyle +{frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(-z))]}
Получаем условия точного восстановления (Perfect reconstruction, (англ.))
H ( z − 1 ) H ( z ) + G ( z − 1 ) G ( z ) = 2 {displaystyle H(z^{-1})H(z)+G(z^{-1})G(z)=2}
H ( z − 1 ) H ( − z ) + G ( z − 1 ) G ( − z ) = 0 {displaystyle H(z^{-1})H(-z)+G(z^{-1})G(-z)=0}
В матричной форме они записываются так:
M ( z ) ( M ( z − 1 ) ) t {displaystyle M(z)(M(z^{-1}))^{t}} = [ 2 0 0 2 ] {displaystyle {egin{aligned}{egin{bmatrix}2&0 &2end{bmatrix}}end{aligned}}} = 2 E {displaystyle =2E}
где
[ H ( z ) G ( z ) H ( − z ) G ( − z ) ] {displaystyle {egin{aligned}{egin{bmatrix}H(z)&G(z)H(-z)&G(-z)end{bmatrix}}end{aligned}}}
подставив z = e i w {displaystyle z=e^{iw}} , получим условия ДПФ искомых фильтров:
- | H ( w ) | 2 + | G ( w ) | 2 ≡ 2 {displaystyle leftvert H(w) ightvert ^{2}+leftvert G(w) ightvert ^{2}equiv 2}
- H ( w ) H ( w + Π ) + G ( w ) G ( w + Π ) {displaystyle H(w)H(w+Pi )+G(w)G(w+Pi )}
допустим, что мы нашли h {displaystyle h} такой что:
- | H ( w ) | 2 + | G ( w + Π ) | 2 ≡ 2 {displaystyle leftvert H(w)
ightvert ^{2}+leftvert G(w+Pi )
ightvert ^{2}equiv 2}
- G ( w ) = − e i w H ( w + Π ) {displaystyle G(w)=-e^{iw}H(w+Pi )}
История создания
C. Galand был мотивирован тем, что есть возможность улучшение цифрового телефона, технология которого включает в себя передачи речевых сигналов в виде последовательностей 0 и 1. Но как заметил Galand, эти методы выходят далеко за рамки цифровой речи, так как факсимильная связь видео, базы данных, и многие другие формы информации используют телефонные линии для передачи информации. В настоящее время количество битов, которое используется для телефонной передачи составляет хорошо известные 64 килобита в секунду. Galand пытался, использовать методы кодирования для передачи речи значительно ниже этого стандарта, которые адаптированы к речевым сигналам.
Применение
Квадратурный зеркальный фильтр позволяет избежать последствий сглаживания из-за прореживанья образцов, когда сигнал разделён на поддиапазоны. Каждый поддиапазон затем кодируются независимо с использованием компандирования импульсно-кодовой модуляции квантователей. Поэтому переменное число бит отводится для каждого поддиапазонного квантователя для того, чтобы воспользоваться относительного последствия ошибки квантования.
Квадратурный зеркальный фильтр широко используется в областях обработки сигналов, таких как:
- Поддиапазонное кодирование речи
- Обработка изображения,
- Обработка речи
- Сжатия изображения,
- Выравнивание каналов беспроводной связи, кодирование источника для аудио и видео сигналов,
- Дизайн вейвлетных базисов,
- Поддиапазонное подавление эха и дискретная системы многотоновой модуляции