Теорема Хадвигера характеризует непрерывные валюации на выпуклых телах в евклидовом пространстве, инвариантные относительно движений. Доказана Гуго Хадвигером.
Введение
Валюации
Пусть K n {displaystyle K^{n}} — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Валюация на K n {displaystyle K^{n}} есть функция v : K n → R {displaystyle v:K^{n} o mathbb {R} } такая, что равенство
v ( S ) + v ( T ) = v ( S ∩ T ) + v ( S ∪ T ) {displaystyle v(S)+v(T)=v(Scap T)+v(Scup T)}выполняется для любых S , T ∈ K n {displaystyle S,Tin K^{n}} таких, что S ∪ T ∈ K n {displaystyle Scup Tin K^{n}} ,
При этом
- Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
- Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} выполняется v ( S ) = v ( ϕ ( S ) ) {displaystyle v(S)=v(phi (S))}
Средняя поперечная мера
k {displaystyle k} -ая средняя поредняя поперечная мера W k ( S ) {displaystyle W_{k}(S)} тела S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} определяется как средняя k {displaystyle k} -мерная площадь проекций S {displaystyle S} на k {displaystyle k} -мерные плоскости.
В частности,
- W n ( S ) {displaystyle W_{n}(S)} — объём S {displaystyle S} ,
- W n − 1 ( S ) {displaystyle W_{n-1}(S)} — пропорциональна площади поверхности S {displaystyle S} .
- W k ( λ ⋅ S ) = | λ | k ⋅ W k ( S ) {displaystyle W_{k}(lambda cdot S)=|lambda |^{k}cdot W_{k}(S)}
Формулировка
Любая непрерывная валюация v на Kn , инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде
v ( S ) = ∑ j = 0 n c j ⋅ W j ( S ) . {displaystyle v(S)=sum _{j=0}^{n}c_{j}{cdot }W_{j}(S).}