Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Связано это с тем, что функция двух переменных f ( x , y ) = x y {displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0)} имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X , {displaystyle X,} где y = 0 , {displaystyle y=0,} она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y , {displaystyle Y,} где x = 0 , {displaystyle x=0,} она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0⁰ не может дать непрерывную в нуле функцию.

Соглашение 00 = 1: аргументация сторонников

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 0 0 {displaystyle 0^{0}} равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! {displaystyle e^{x}=1+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}

можно записать короче, если принять 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}

(рассматриваемое соглашение используется при x = 0 ,   n = 0 {displaystyle x=0, n=0} ).

Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:

a n = 1 ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⏟ n , {displaystyle a^{n}=1cdot underbrace {acdot acdot ldots cdot a} _{n},}

и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.

Другое обоснование соглашения 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} опирается на «Теорию множеств» Бурбаки: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно m n , {displaystyle m^{n},} при m = n = 0 {displaystyle m=n=0} получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} не используется.

В любом случае соглашение 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение ( a − 1 / t ) t , {displaystyle (a^{-1/t})^{t},} где a {displaystyle a} — произвольное положительное вещественное число. При t → 0 {displaystyle t o 0} мы получаем неопределённость типа 0 0 , {displaystyle 0^{0},} и, если не отличать предельную форму 0 0 {displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение 0 0 {displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a − 1 . {displaystyle a^{-1}.} Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

История различных точек зрения

Дискуссия по поводу определения 0 0 {displaystyle 0^{0}} продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали соглашение 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} , но в 1821 году Коши причислил 0 0 {displaystyle 0^{0}} к неопределённостям, таким, как 0 0 . {displaystyle {frac {0}{0}}.} В 1830-х годах Либри опубликовал неубедительный аргумент в пользу 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} (см. Функция Хевисайда § История), и Мёбиус встал на его сторону, ошибочно заявив, что lim t → 0 + f ( t ) g ( t ) = 1 {displaystyle lim _{t o 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1} всякий раз, когда lim t → 0 + f ( t ) = lim t → 0 + g ( t ) = 0 {displaystyle lim _{t o 0^{+}}f(t)=lim _{t o 0^{+}}g(t)=0} . Обозреватель, который подписал своё имя просто как «S», предоставил контрпример ( e − 1 / t ) t {displaystyle (e^{-1/t})^{t}} , и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в статье Кнута (1992).

Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Некоторые утверждают, что наилучшее значение для 0 0 {displaystyle 0^{0}} зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять 0 0 , {displaystyle 0^{0},} основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения 0 0 {displaystyle 0^{0}} , то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 0 0 {displaystyle 0^{0}} ».

Часть математиков считает, что 0 0 {displaystyle 0^{0}} должно быть определено как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что 0 0 {displaystyle 0^{0}} «должно быть 1», делая различие между значением 0 0 {displaystyle 0^{0}} , которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой 0 0 {displaystyle 0^{0}} (аббревиатура для предела f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)^{g(x)}} где f ( x ) , g ( x ) → 0 {displaystyle f(x),g(x) o 0} ), что обязательно является неопределённостью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне».

Авторитетный сайт MathWorld, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение 0 0 {displaystyle 0^{0}} считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение 0 0 = 1 {displaystyle 0^{0}=1} позволяет в некоторых случаях упростить запись формул. В России Большая российская энциклопедия, Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники однозначно характеризуют 0 0 {displaystyle 0^{0}} как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).

Раскрытие неопределённости 00

Если даны две функции f ( x ) {displaystyle f(x)} и g ( x ) {displaystyle g(x)} , которые стремятся к нулю, то предел f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)^{g(x)}} в общем случае, как показано выше, может быть любым. Таким образом, с этой точки зрения 0 0 {displaystyle 0^{0}} является неопределённостью. Для нахождения предела f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)^{g(x)}} в этом случае пользуются методами раскрытия неопределённости, как правило сначала взяв логарифм от данного выражения: ln ⁡ ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) 1 ln ⁡ f ( x ) {displaystyle ln left(f(x)^{g(x)} ight)={frac {g(x)}{frac {1}{ln f(x)}}}} , а потом воспользовавшись правилом Лопиталя.

Однако, при определённых условиях этот предел будет всегда равен единице. А именно: если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} являются аналитическими в точке 0 {displaystyle 0} (то есть в некоторой окрестности точки 0 {displaystyle 0} совпадают со своим рядом Тейлора), и f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 {displaystyle f(0)=g(0)=0} , а f ( x ) > 0 {displaystyle f(x)>0} в окрестности ( 0 , δ ) {displaystyle (0,delta )} , то предел f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)^{g(x)}} при x {displaystyle x} стремящемся к нулю справа равен 1.

Например, таким образом можно сразу убедиться, что

lim x → 0 + x x = 1 , {displaystyle lim _{x o 0^{+}}x^{x}=1,} lim x → 0 + ( sin ⁡ x ) tg ⁡ x = 1 , {displaystyle lim _{x o 0^{+}}(sin x)^{operatorname {tg} x}=1,} lim x → 0 + ( e x + 1 − e ) x = 1. {displaystyle lim _{x o 0^{+}}left(e^{x+1}-e ight)^{x}=1.}

При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0 или f ( x ) {displaystyle f(x)} тождественно равен 0, то предел может быть любым, или его может не существовать. Например,

lim x → 0 + x a / ln ⁡ x = e a , {displaystyle lim _{x o 0^{+}}x^{a/ln x}=e^{a},} lim x → 0 + ( e − 1 / x ) x = e − 1 , {displaystyle lim _{x o 0^{+}}left(e^{-1/x} ight)^{x}=e^{-1},} lim x → 0 + 0 x = 0. {displaystyle lim _{x o 0^{+}}0^{x}=0.}

Комплексный случай

Для комплексных чисел u , v {displaystyle u,v} выражение вида u v {displaystyle u^{v}} для u ≠ 0 {displaystyle u eq 0} многозначно и определяется как e v Ln ⁡ u {displaystyle e^{voperatorname {Ln} u}} , Однако комплексный логарифм Ln ⁡ 0 {displaystyle operatorname {Ln} 0} не определён ни в какой своей ветви, и это лишает смысла любое соглашение не только для 0 0 , {displaystyle 0^{0},} но и для любого 0 z , {displaystyle 0^{z},} хотя часть авторов предлагает при z ≠ 0 {displaystyle z eq 0} принять соглашение 0 z = 0 {displaystyle 0^{z}=0} .

В компьютерах

Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей запятой, определяет три функции возведения в степень:

  • Функция для возведения в целую степень: pown ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {pown} (x,y)} . Согласно стандарту, pown ⁡ ( x , 0 ) = 1 {displaystyle operatorname {pown} (x,0)=1} для любого x {displaystyle x} , в том числе, когда x {displaystyle x} равен нулю, NaN или бесконечности.
  • Функция для возведения в произвольную степень: powr ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {powr} (x,y)} — по сути равная exp ⁡ ( y ln ⁡ ( x ) ) {displaystyle exp {ig (}yln(x){ig )}} . Согласно стандарту, powr ⁡ ( ± 0 , ± 0 ) {displaystyle operatorname {powr} (pm 0,pm 0)} возвращает значение «не число» NaN.
  • Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: pow ⁡ ( x , y ) {displaystyle operatorname {pow} (x,y)} . Согласно стандарту, pow ⁡ ( x , ± 0 ) = 1 {displaystyle operatorname {pow} (x,pm 0)=1} для всех x {displaystyle x} (так же, как и pown ⁡ ( x , 0 ) {displaystyle operatorname {pown} (x,0)} ). Данное соглашение в целом имеет разумное обоснование (см. ниже), однако вопрос может вызывать случай, когда x=NaN.

Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в C++: pow(0, 0) == 1, в языке Haskell это верно для всех трёх стандартных операций возведения в степень: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. То же касается и стандартного калькулятора MS Windows.

Хотя общеизвестно, что 0 0 {displaystyle 0^{0}} — это неопределённость, поведение некоторых функций, возвращающих в данном случае 1 {displaystyle 1} , не является результатом соглашения или ошибкой, оно имеет логическое обоснование. Дело в том, что в компьютерной арифметике числовые данные подразделяются на целые и вещественные. Это может неявно использоваться в некоторых функциях, реализующих операцию возведения в степень. Например, так сделано в калькуляторе Windows и функции pow в C++. Для целого и вещественного показателя степени используются различные алгоритмы, и функция возведения в степень анализирует показатель: если он равен целому числу, то вычисление степени идёт по другому алгоритму, в котором отрицательные и нулевое основания степени являются допустимыми. Если показатель степени принадлежит множеству целых чисел и равен 0, а основание - вещественное число, то операцию 0 0 {displaystyle 0^{0}} следует определять не иначе как lim x → 0 x 0 {displaystyle lim _{x o 0}x^{0}} . Поскольку 0 в показателе точный, предельный переход касается только основания и (в отличие от случая, когда показатель тоже вещественный) определён однозначно и равен 1 {displaystyle 1} . Сказанное в полной мере относится и к случаю вычисления выражения ( ± ∞ ) 0 {displaystyle (pm infty )^{0}} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: