Инверсия кривой — результат применения операции инверсии к заданной кривой C. По отношению к фиксированной окружности с центром O и радиусом k инверсия точки Q — это точка P, лежащая на луче OQ, и OP•OQ = k2. Инверсия кривой C — это множество всех точек P, являющихся инверсиями точек Q, принадлежащих кривой C. Точка O в этом построении называется центром инверсии, окружность называется окружностью инверсии, а k — радиусом инверсии.
Инверсия, применённая дважды, даст тождественное преобразование, так что инверсия, применённая к инверсии кривой по отношению той же окружности, даст первоначальную кривую. Точки самой окружности переходят в себя, так что окружность инверсии при операции не меняется.
Уравнения
Инверсией точки (x, y) по отношению единичной окружности является (X, Y), где:
X = x x 2 + y 2 , Y = y x 2 + y 2 {displaystyle X={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}, Y={frac {y}{x^{2}+y^{2}}}} ,или, что эквивалентно:
x = X X 2 + Y 2 , y = Y X 2 + Y 2 {displaystyle x={frac {X}{X^{2}+Y^{2}}}, y={frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}} .Так что инверсия кривой, определённой уравнением f(x, y) = 0, по отношению к единичной окружности задаётся уравнением:
f ( X X 2 + Y 2 , Y X 2 + Y 2 ) = 0 {displaystyle fleft({frac {X}{X^{2}+Y^{2}}}, {frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}} ight)=0} .Из этого уравнения следует, что инверсия алгебраической кривой степени n по отношению к окружности даёт алгебраическую кривую степени максимум 2n.
Таким же образом, инверсией кривой, заданной параметрическими уравнениями:
x = x ( t ) , y = y ( t ) {displaystyle x=x(t), y=y(t)} ,по отношению к единичной окружности будет:
X = X ( t ) = x ( t ) x ( t ) 2 + y ( t ) 2 , Y = Y ( t ) = y ( t ) x ( t ) 2 + y ( t ) 2 . {displaystyle X=X(t)={frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}, Y=Y(t)={frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.}Отсюда следует, что круговая инверсия рациональной кривой является также рациональной кривой.
Обобщая, инверсией кривой, заданной уравнением f(x, y) = 0, по отношению к окружности с центром в (a, b) и радиусом k является
f ( a + k 2 ( X − a ) ( X − a ) 2 + ( Y − b ) 2 , b + k 2 ( Y − b ) ( X − a ) 2 + ( Y − b ) 2 ) = 0. {displaystyle fleft(a+{frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}, b+{frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}} ight)=0.}Инверсией кривой, заданной параметрически:
x = x ( t ) , y = y ( t ) {displaystyle x=x(t), y=y(t)} ,по отношению к той же окружности будет:
X = X ( t ) = a + k 2 ( x ( t ) − a ) ( x ( t ) − a ) 2 + ( y ( t ) − b ) 2 , Y = Y ( t ) = b + k 2 ( y ( t ) − b ) ( x ( t ) − a ) 2 + ( y ( t ) − b ) 2 {displaystyle X=X(t)=a+{frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}}, Y=Y(t)=b+{frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}}} .В полярной системе координат уравнения проще, если окружностью инверсии является единичная окружность. Инверсией точки (r, θ) по отношению к единичной окружности является (R, Θ), где
R = 1 r , Θ = θ {displaystyle R={frac {1}{r}}, Theta = heta } ,или, что эквивалентно:
r = 1 R , θ = Θ {displaystyle r={frac {1}{R}}, heta =Theta } .Таким образом, инверсия кривой f(r, θ) = 0 определяется уравнением f(1/R, Θ) = 0, а инверсией кривой r = g(θ) будет r = 1/g(θ).
Примеры
Применение преобразования, приведенного выше, к лемнискате Бернулли
( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}даст
a 2 ( u 2 − v 2 ) = 1 {displaystyle a^{2}(u^{2}-v^{2})=1}— уравнение гиперболы. Поскольку инверсия является бирациональным преобразованием и гипербола является рациональной кривой, это показывает, что лемниската также является рациональной кривой, другими словами, кривая имеет род нуль. Если применить инверсию к кривой Ферма xn + yn = 1, где n нечётно, мы получим
( u 2 + v 2 ) n = u n + v n . {displaystyle (u^{2}+v^{2})^{n}=u^{n}+v^{n}.}Любая рациональная точка на кривой Ферма имеет соответствующую рациональную точку на этой кривой, что даёт эквивалентную формулировку великой теоремы Ферма.
Частные случаи
Для простоты в качестве окружности инверсии в примерах используется единичная окружность. Результат инверсии для других окружностей можно получить путём преобразования исходной кривой.
Прямые
Если прямая проходит через начало координат, её уравнение в полярных координатах будет θ = θ0, где θ0 постоянна. Уравнение не меняется при инверсии.
Уравнение в полярных координатах прямой, не проходящей через начало координат,
r cos ( θ − θ 0 ) = a {displaystyle rcos( heta - heta _{0})=a}и уравнением инверсии кривой будет
r = a cos ( θ − θ 0 ) {displaystyle r=acos( heta - heta _{0})}которое задаёт окружность, проходящую через начало координат. Применение инверсии уже к этой окружности показывает, что инверсией окружности, проходящей через начало координат, будет прямая.
Окружности
В полярных координатах общее уравнением окружности, не проходящей через начало координат, будет
r 2 − 2 r 0 r cos ( θ − θ 0 ) + r 0 2 − a 2 = 0 ( a , r > 0 , a ≠ r 0 ) , {displaystyle r^{2}-2r_{0}rcos( heta - heta _{0})+r_{0}^{2}-a^{2}=0quad (a, r>0, a eq r_{0}),}где a — радиус и (r0, θ0) — полярные координаты центра. Уравнением инверсной кривой будет
1 − 2 r 0 r cos ( θ − θ 0 ) + ( r 0 2 − a 2 ) r 2 = 0 , {displaystyle 1-2r_{0}rcos( heta - heta _{0})+(r_{0}^{2}-a^{2})r^{2}=0,}или
r 2 − 2 r 0 r 0 2 − a 2 r cos ( θ − θ 0 ) + 1 r 0 2 − a 2 = 0. {displaystyle r^{2}-{frac {2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}rcos( heta - heta _{0})+{frac {1}{r_{0}^{2}-a^{2}}}=0.}Это уравнение окружности с радиусом
A = a | r 0 2 − a 2 | {displaystyle A={frac {a}{|r_{0}^{2}-a^{2}|}}}и центром, координаты которой
( R 0 , Θ 0 ) = ( r 0 r 0 2 − a 2 , θ 0 ) . {displaystyle (R_{0}, Theta _{0})=left({frac {r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}, heta _{0} ight).}Заметим, что R0 может быть отрицательным.
Если исходная окружность пересекается с единичной окружностью, то центры этих двух окружностей и точка пересечения образует треугольник со сторонами 1, a, r0 и этот треугольник будет прямоугольным, если
r 0 2 = a 2 + 1. {displaystyle r_{0}^{2}=a^{2}+1.}Но из уравнения выше следует, что исходная окружность совпадает с её инверсией только в случае, когда
r 0 2 − a 2 = 1. {displaystyle r_{0}^{2}-a^{2}=1.}Таким образом, инверсия окружности совпадает с исходной окружностью тогда и только тогда, когда окружность пересекает единичную окружность под прямыми углами.
Суммируя и обобщая две секции:
Параболы с центром инверсии в вершине
Уравнением параболы, если повернуть её так, что ось станет горизонтальной, будет x = y2. В полярных координатах это превращается в
r = cos θ sin 2 θ . {displaystyle r={frac {cos heta }{sin ^{2} heta }}.}Уравнением инверсной кривой тогда будет
r = sin 2 θ cos θ = sin θ tan θ {displaystyle r={frac {sin ^{2} heta }{cos heta }}=sin heta an heta } ,и это циссоида Диокла.
Конические сечения с центром инверсии в фокусе
Уравнением в полярных координатах конического сечения с фокусом в начале координат будет, с точностью до подобия
r = 1 1 + e cos θ {displaystyle r={frac {1}{1+ecos heta }}} ,где e — эксцентриситет. Инверсией этой кривой будет:
r = 1 + e cos θ {displaystyle r=1+ecos heta } ,и это — уравнение улитки Паскаля. Если e = 0, это окружность инверсии. Если 0 < e < 1, исходная кривая является эллипсом и её инверсия — это замкнутая кривая с изолированной точкой в начале координат. Если e = 1, исходная кривая является параболой и её инверсия является кардиоидой, имеющей касп в начале координат. Если e > 1, исходная кривая является гиперболой и её инверсия образует две петли с точкой пересечения в начале координат.
Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в вершинах
Общим уравнением эллипса или гиперболы является:
x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}pm {frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} .Преобразуя уравнение так, что начало координат станет вершиной:
( x − a ) 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}pm {frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ,и после преобразования:
x 2 2 a ± a y 2 2 b 2 = x {displaystyle {frac {x^{2}}{2a}}pm {frac {ay^{2}}{2b^{2}}}=x}или, заменив константы:
c x 2 + d y 2 = x {displaystyle cx^{2}+dy^{2}=x} .Заметим, что парабола, рассмотренная выше, теперь попадает в эту схему, положив c = 0 и d = 1. Уравнением инверсной кривой будет:
c x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + d y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 = x x 2 + y 2 {displaystyle {frac {cx^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+{frac {dy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}или
x ( x 2 + y 2 ) = c x 2 + d y 2 {displaystyle x(x^{2}+y^{2})=cx^{2}+dy^{2}} .Это уравнение описывает семейство кривых, называемых конхоидами Слюза. Это семейство включает, вдобавок к циссоиде Диокла, описанной выше, трисектрису Маклорена (d = −c/3) и правую строфоиду (d = −c).
Эллипсы и гиперболы с центрами инверсии в центре
Уравнение эллипса или гиперболы:
c x 2 + d y 2 = 1 {displaystyle cx^{2}+dy^{2}=1} ,после операции инвертирования:
( x 2 + y 2 ) 2 = c x 2 + d y 2 {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2}}и это — лемниската Бута. Если d = −c, это лемниската Бернулли.
Конические сечения с произвольной точкой инверсии
Инверсия конического сечения (отличного от окружности) является циркулярной кривой третьего порядка, если центр инверсии лежит на кривой, и бициркулярной кривой четвёртого порядка в противном случае. Конические сечения являются рациональными, так что инвертированные кривые тоже рациональны. И наоборот, любая рациональная циркулярная кривая третьего порядка или рациональная бициркулярная кривая четвёртого порядка является инверсией конического сечения. Фактически любая из этих кривых должна иметь особенность, и если взять эту точку в качестве центра инверсии, инверсная кривая будет коническим сечением.
Аналлагматические кривые
Аналлагматическая кривая — это кривая, переходящая в себя при инверсии. К ним относятся окружность, овал Кассини и трисектриса Маклорена.