Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, описывающая совокупность всех решений обыкновенного дифференциального уравнения. Является основным теоретическим положением при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений.

Она утверждает, что для каждых начальных значений x 0 , y 0 → {displaystyle x_{0},{vec {y_{0}}}} из области определения всегда существует решение уравнения y ˙ → = f → ( x , y → ) {displaystyle {vec {dot {y}}}={vec {f}}(x,{vec {y}})} с этими начальными значениями, y → = φ → ( x ) {displaystyle {vec {y}}={vec {varphi }}(x)} определённое на некотором интервале, содержащем точку x 0 {displaystyle x_{0}} . Если имеются два решения с одинаковыми начальными значениями x 0 , y 0 → {displaystyle x_{0},{vec {y_{0}}}} , каждое из которых определено на своём интервале, содержащем x 0 , y 0 → {displaystyle x_{0},{vec {y_{0}}}} , то эти решения совпадают на общей части этих интервалов.

Формулировка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) y ˙ → = f → ( x , y → ) {displaystyle {vec {dot {y}}}={vec {f}}(x,{vec {y}})} , где y → = ( y 1 , . . . , y n ) {displaystyle {vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})} — вектор, f → ( x , y → ) = ( f 1 ( x , y → ) , . . . , f n ( x , y → ) ) {displaystyle {vec {f}}(x,{vec {y}})=(f_{1}(x,{vec {y}}),...,f_{n}(x,{vec {y}}))} , — векторная функция вектора y → {displaystyle {vec {y}}} и скаляра x {displaystyle x} , знак y ˙ {displaystyle {dot {y}}} означает производную y {displaystyle y} по x {displaystyle x} . Функции f → ( x , y → ) {displaystyle {vec {f}}(x,{vec {y}})} и все их частные производные ∂ f i ( x , y 1 , . . . , y n ) ∂ y j {displaystyle {frac {partial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{partial y_{j}}}} , i , j = 1 , . . . , n {displaystyle i,j=1,...,n} определены и непрерывны на открытом множестве Γ {displaystyle Gamma } .

Тогда для каждой точки x 0 , y 0 → ∈ Γ {displaystyle x_{0},{vec {y_{0}}}in Gamma } , называемой начальными значениями решения, существует решение ОДУ y → = φ → ( x ) {displaystyle {vec {y}}={vec {varphi }}(x)} , определённое на некотором интервале, содержащем точку x 0 {displaystyle x_{0}} и удовлетворяющее условию φ → ( x 0 ) = y 0 → {displaystyle {vec {varphi }}(x_{0})={vec {y_{0}}}} , называемым начальными условиями решения.

Если имеются два решения ОДУ y → = ψ → ( x ) {displaystyle {vec {y}}={vec {psi }}(x)} , y → = χ → ( x ) {displaystyle {vec {y}}={vec {chi }}(x)} , определённых на своих собственных интервалах значений переменной x {displaystyle x} , содержащем точку x 0 {displaystyle x_{0}} и таких, что ψ → ( x 0 ) = χ → ( x 0 ) = y 0 → {displaystyle {vec {psi }}(x_{0})={vec {chi }}(x_{0})={vec {y_{0}}}} , то эти решения совпадают всюду, где они определены. То есть для начальных значений x 0 , y 0 → {displaystyle x_{0},{vec {y_{0}}}} определено единственное решение φ → ( x , y 0 → , x 0 ) {displaystyle {vec {varphi }}(x,{vec {y_{0}}},x_{0})} , удовлетворяющее начальному условию φ → ( x 0 , y 0 → , x 0 ) = y 0 → {displaystyle {vec {varphi }}(x_{0},{vec {y_{0}}},x_{0})={vec {y_{0}}}} .

Функция φ → ( x , y 0 → , x 0 ) {displaystyle {vec {varphi }}(x,{vec {y_{0}}},x_{0})} и её частные производные φ → f i ( x , y 0 → , x 0 ) ∂ y 0 {displaystyle {frac {{vec {varphi }}f_{i}(x,{vec {y_{0}}},x_{0})}{partial y_{0}}}} , i = 1 , . . . , n {displaystyle i=1,...,n} непрерывно зависят от переменных x , y 0 → , x 0 {displaystyle x,{vec {y_{0}}},x_{0}} .

Смешанные производные ∂ 2 φ i ( x , y 0 → , x 0 ) ∂ x ∂ j y 0 {displaystyle {frac {partial ^{2}varphi _{i}(x,{vec {y_{0}}},x_{0})}{partial xpartial ^{j}y_{0}}}} , i , j = 1 , . . . , n {displaystyle i,j=1,...,n} существуют, непрерывны по t , x 0 → {displaystyle t,{vec {x_{0}}}} и не зависят от порядка дифференцирования.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: