Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества A {displaystyle A} и B {displaystyle B} , их симметрическая разность есть объединение элементов A {displaystyle A} , не входящих в B {displaystyle B} , с элементами B {displaystyle B} , не входящими в A {displaystyle A} . На письме для обозначения симметрической разности множеств A {displaystyle A} и B {displaystyle B} используется обозначение A △ B {displaystyle Aigtriangleup B} , реже используется обозначение A − ˙ B {displaystyle A,{dot {-}},B} или A + B {displaystyle A+B} .

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

  • симметрическая разность двух заданных множеств A {displaystyle A} и B {displaystyle B} — это такое множество A △ B {displaystyle Aigtriangleup B} , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) . {displaystyle Aigtriangleup B=left(Asetminus B ight)cup left(Bsetminus A ight).}
  • симметрическая разность двух заданных множеств A {displaystyle A} и B {displaystyle B} — это такое множество A △ B {displaystyle Aigtriangleup B} , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.
A △ B = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) . {displaystyle Aigtriangleup B=left(Acup B ight)setminus left(Acap B ight).}

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

  • Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
  • Симметрическая разность коммутативна:
A △ B = B △ A ; {displaystyle Aigtriangleup B=B, riangle ,A;}
  • Симметрическая разность ассоциативна:
( A △ B ) △ C = A △ ( B △ C ) ; {displaystyle left(Aigtriangleup B ight), riangle ,C=Aigtriangleup left(B, riangle ,C ight);}
  • Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:
A ∩ ( B △ C ) = ( A ∩ B ) △ ( A ∩ C ) ; {displaystyle Acap left(Bigtriangleup C ight)=left(Acap B ight)igtriangleup left(Acap C ight);}
  • Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:
A △ ∅ = A ; {displaystyle Aigtriangleup varnothing =A;}
  • Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:
A △ A = ∅ ; {displaystyle Aigtriangleup A=varnothing ;}
  • В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
  • Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем Z 2 . {displaystyle mathbb {Z} _{2}.}
  • В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
  • ( A 1 ∩ A 2 ) △ ( B 1 ∩ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {displaystyle left(A_{1}cap A_{2} ight)igtriangleup left(B_{1}cap B_{2} ight)subset left(A_{1}igtriangleup B_{1} ight)cup left(A_{2}igtriangleup B_{2} ight);}
  • ( A 1 ∪ A 2 ) △ ( B 1 ∪ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {displaystyle left(A_{1}cup A_{2} ight)igtriangleup left(B_{1}cup B_{2} ight)subset left(A_{1}igtriangleup B_{1} ight)cup left(A_{2}igtriangleup B_{2} ight);}
  • ( A 1 ∖ A 2 ) △ ( B 1 ∖ B 2 ) ⊂ ( A 1 △ B 1 ) ∪ ( A 2 △ B 2 ) ; {displaystyle left(A_{1}setminus A_{2} ight)igtriangleup left(B_{1}setminus B_{2} ight)subset left(A_{1}igtriangleup B_{1} ight)cup left(A_{2}igtriangleup B_{2} ight);}
  • Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:
A ∪ B = A △ B △ ( A ∩ B ) , {displaystyle Acup B=Aigtriangleup Bigtriangleup left(Acap B ight),} A ∖ B = A △ ( A ∩ B ) . {displaystyle Asetminus B=Aigtriangleup left(Acap B ight).}
  • Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств
( A △ B ) ∪ ( A ∩ B ) = A ∪ B {displaystyle (Aigtriangleup B)cup (Acap B)=Acup B}

Пример

Пусть

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } . {displaystyle A={1,2,3,4,5},quad B={3,4,5,6,7}.}

Тогда

A △ B = { 1 , 2 , 6 , 7 } . {displaystyle A, riangle ,B={1,2,6,7}.}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: