В физике горизонт Киллинга — это нулевая гиперповерхность, определяемая обращением в нуль нормы поля Киллинга (оба названы в честь Вильгельма Киллинга).
Плоское пространство-время
В пространстве-времени Минковского, в псевдодекартовых координатах ( t , x , y , z ) {displaystyle (t,x,y,z)} с сигнатурой ( + , − , − , − ) , {displaystyle (+,-,-,-),} пример горизонта Киллинга представлен ускорением Лоренца (вектор Киллинга пространства-времени)
V = x ∂ t + t ∂ x . {displaystyle V=x,partial _{t}+t,partial _{x}.}Площадь нормы V {displaystyle V} равен
g ( V , V ) = x 2 − t 2 = ( x + t ) ( x − t ) . {displaystyle g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(x-t).}Следовательно, V {displaystyle V} имеет значение NULL только на гиперплоскостях уравнений
x + t = 0 , и x − t = 0 , {displaystyle x+t=0,{ ext{ и }}x-t=0,}так, что вместе взятые, они являются горизонтами Киллинга, созданными V {displaystyle V} .
С горизонтом Киллинга связана геометрическая величина, известная как поверхностная гравитация, κ {displaystyle kappa } . Если поверхностная гравитация исчезает, горизонт Киллинга называется вырожденным.
Горизонты Киллинга чёрной дыры
Точные метрики чёрной дыры, такие как метрика Керра — Ньюмана, содержат горизонты Киллинга, которые совпадают с их эргосферой. Для этого пространства-времени горизонт Киллинга расположен в
r = r e := M + M 2 − Q 2 − a 2 cos 2 θ . {displaystyle r=r_{e}:=M+{sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}cos ^{2} heta }}.}В обычных координатах за пределами горизонта Киллинга поле ∂ / ∂ t {displaystyle partial /partial t} вектора Киллинга подобно времени, а внутри — подобно пространству. Температура излучения Хокинга связана с поверхностной гравитацией c 2 κ {displaystyle c^{2}kappa } на T H = ℏ c κ 2 π k B {displaystyle T_{H}={frac {hbar ckappa }{2pi k_{B}}}} с : k B {displaystyle k_{B}} .
Космологические горизонты Киллинга
Пространство Де Ситтера имеет горизонт Киллинга радиуса r = 3 / Λ {displaystyle r={sqrt {3/Lambda }}} , который испускает тепловое излучение при температуре T = ( 1 / 2 π ) Λ / 3 {displaystyle T=(1/2pi ){sqrt {Lambda /3}}} .