26.02.2022

Стоячая волна — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Стоячая волна (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отражённой волн.

Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.

Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отражённой волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отражённая волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

  • Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода

  • Более высокая мода стоячей волны на упругом диске


В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

u = u 0 cos ⁡ k x cos ⁡ ( ω t − φ ) {displaystyle u=u_{0}cos kxcos(omega t-varphi )} ,

где u — возмущения в точке х в момент времени t, u 0 {displaystyle u_{0}} — амплитуда стоячей волны, ω {displaystyle omega } — частота , k — волновой вектор, φ {displaystyle varphi } — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

Моды

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отражённую волны в виде:

y 1 = y 0 sin ⁡ ( k x − ω t ) {displaystyle y_{1};=;y_{0},sin(kx-omega t)} y 2 = y 0 sin ⁡ ( k x + ω t ) {displaystyle y_{2};=;y_{0},sin(kx+omega t)}

где:

  • y0 — амплитуда волны,
  • ω {displaystyle omega } — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
  • k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как 2 π {displaystyle 2pi } поделённое на длину волны λ {displaystyle lambda } ,
  • x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y1 и y2:

y = y 0 sin ⁡ ( k x − ω t ) + y 0 sin ⁡ ( k x + ω t ) . {displaystyle y;=;y_{0},sin(kx-omega t);+;y_{0},sin(kx+omega t).}

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

y = 2 y 0 cos ⁡ ( ω t ) sin ⁡ ( k x ) . {displaystyle y;=;2,y_{0},cos(omega t);sin(kx).}

Если рассматривать моды x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , . . . {displaystyle x=0,lambda /2,3lambda /2,...} и антимоды x = λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . {displaystyle x=lambda /4,3lambda /4,5lambda /4,...} , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны λ / 2 {displaystyle lambda /2} .

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

( ∇ 2 − 1 v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = 0 {displaystyle left( abla ^{2}-{frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} ight)u=0}

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

( ∇ 2 − 1 v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = f 0 u , {displaystyle left( abla ^{2}-{frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} ight)u=f_{0}u,}

где f 0 {displaystyle f_{0}} — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: