Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836.
Формулировка
Пусть ( a n ) {displaystyle (a_{n})} есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд
∑ n = 1 ∞ a n {displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}сходится или расходится одновременно с рядом
∑ m = 1 ∞ N m 2 m {displaystyle sum _{m=1}^{infty }{frac {N_{m}}{2^{m}}}}где N m {displaystyle N_{m}} — наименьшее целое, такое что a N m ≤ 1 2 m {displaystyle a_{N_{m}}leq {frac {1}{2^{m}}}} .
Примеры
- Для гармонического ряда a n = 1 n {displaystyle a_{n}={ frac {1}{n}}} имеем N m = 2 m {displaystyle N_{m}=2^{m}} , таким образом N m 2 m = 1 {displaystyle {frac {N_{m}}{2^{m}}}=1} и значит второй ряд расходится. Согласно признаку Лобачевского расходится и первый.