Пространство Урысона — метрическое пространство универсальное в определённом смысле.
Определение
Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство X {displaystyle X} , обладающее следующими двумя свойствами:
- (Универсальность.) Любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству X {displaystyle X} .
- (Конечная однородность.) Для любых двух конечных изометричных его подмножеств Y 1 , Y 2 ⊂ X {displaystyle Y_{1},Y_{2}subset X} любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии X {displaystyle X} .
Свойства
- Пространство Урысона существует и единственно с точностью до изометрии.
- Пространство Урысона U {displaystyle U} является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества K ⊂ U {displaystyle Ksubset U} в U {displaystyle U} можно продолжить до изометрии U {displaystyle U} .
- При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона. (это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи)
История
Морис Фреше доказал, что пространсто ℓ ∞ {displaystyle ell ^{infty }} включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, ℓ ∞ {displaystyle ell ^{infty }} не является ни конечно-однородным ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.