Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство
c 1 2 ⩽ 3 c 2 {displaystyle c_{1}^{2}leqslant 3c_{2}}между числами Чжэня компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу и Миаоки, после того как Ван де Вен и Фёдор Богомоловдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.
Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг и Истон привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как обобщённая поверхность Рейно, для которых неравенство не выполняется.
Формулировка неравенства
Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.
Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа, и пусть c 1 = c 1 ( X ) {displaystyle c_{1}=c_{1}(X)} и c 2 = c 2 ( X ) {displaystyle c_{2}=c_{2}(X)} — первый и второй класс Чжэня комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда
c 1 2 ⩽ 3 c 2 . {displaystyle c_{1}^{2}leqslant 3c_{2}.}Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби.
Поскольку c 2 ( X ) = e ( X ) {displaystyle c_{2}(X)=e(X)} является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха c 1 2 ( X ) = 2 e ( X ) + 3 σ ( X ) {displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3sigma (X)} , где σ ( X ) {displaystyle sigma (X)} является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:
σ ( X ) ⩽ 1 3 e ( X ) , {displaystyle sigma (X)leqslant {frac {1}{3}}e(X),}и более того, если σ ( X ) = ( 1 / 3 ) e ( X ) {displaystyle sigma (X)=(1/3)e(X)} , универсальное покрытие является шаром.
Вместе с неравенством Нётера неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей. См. статью Поверхности общего типа.
Поверхности с c12 = 3c2
Пусть X — поверхность общего типа с c 1 2 = 3 c 2 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}} , так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в C 2 {displaystyle {mathbb {C} }^{2}} по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель показал, что существует бесконечно много значений c 1 2 = 3 c 2 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}} , для которых поверхности существуют. Мамфорд нашёл ложную проективная плоскость с c 1 2 = 3 c 2 = 9 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9} , которая имеет минимальное возможное значение, поскольку c 1 2 + c 2 {displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}} всегда делится на 12, а Прасад и Йен, а также Картрайт и Стегер показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.
Бартель, Хирцебрух и Хёфер дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с c 1 2 = 3 c 2 = 3 2 5 4 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}} . Исида нашёл фактор такой поверхности с c 1 2 = 3 c 2 = 45 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45} и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с c 1 2 = 3 c 2 = 45 {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45} для любого положительного k. Картрайт и Стегер нашли примеры с c 1 2 = 3 c 2 = 9 n {displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9n} для любого положительного целого n.