19.12.2020

Группоид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе G {displaystyle G} , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента g {displaystyle g} из G {displaystyle G} , композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории C {displaystyle C} группоидом является подкатегория D ↪ C {displaystyle Dhookrightarrow C} , объекты которой совпадают с объектами C {displaystyle C} , а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в C {displaystyle C} .

Для линейно связного топологического пространства X {displaystyle X} определяется его фундаментальный группоид Π 1 ( X ) {displaystyle Pi _{1}(X)} как 2-категория, объектами которой являются все точки из X {displaystyle X} , а стрелки из x ∈ X {displaystyle xin X} в y ∈ X {displaystyle yin X} соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из x {displaystyle x} в y {displaystyle y} :

f : [ 0 ; 1 ] → X ,   f ( 0 ) = x , f ( 1 ) = y {displaystyle fcolon [0;1] o X,~f(0)=x,;f(1)=y} .

Две функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} задают один и тот же путь если существует s : [ 0 ; 1 ] → [ 0 ; 1 ] {displaystyle s:[0;1] o [0;1]} , так что f = g ∘ s {displaystyle f=gcirc s} или g = f ∘ s {displaystyle g=fcirc s} . Композиция стрелок задаётся композицией путей:

f g ( t ) = { f ( 2 t ) , 0 ⩽ t ⩽ 1 / 2 g ( 2 t − 1 ) , 1 / 2 ⩽ t ⩽ 1 {displaystyle fg(t)={egin{cases}f(2t),;0leqslant tleqslant 1/2g(2t-1),;1/2leqslant tleqslant 1end{cases}}} .

2-морфизм из f {displaystyle f} в g {displaystyle g} — это гомотопия из f {displaystyle f} в g {displaystyle g} . Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки x ∈ X {displaystyle xin X} возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта x ∈ Π 1 ( X ) {displaystyle xin Pi _{1}(X)} .

Категория векторных расслоений ранга n {displaystyle n} над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба (который является частным случаем стека), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий H 2 ( X , G ) {displaystyle H^{2}(X,{mathcal {G}})} , где G {displaystyle {mathcal {G}}} — пучок групп на X {displaystyle X} . Понятие особенно важно в случае неабелевых групп G {displaystyle {mathcal {G}}} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: