Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.
Эта конструкция позволяет построить новый объект X {displaystyle X} по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов X i {displaystyle X_{i}} и набору отображений f i j : X i → X j {displaystyle f_{ij}:X_{i} o X_{j}} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} . Для индуктивного предела обычно используется обозначение
X = lim → X i {displaystyle X=varinjlim X_{i}} .Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.
В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.
Пусть I {displaystyle I} — направленное множество с отношением предпорядка ⩽ {displaystyle leqslant } и пусть каждому элементу i ∈ I {displaystyle iin I} сопоставлен алгебраический объект X i {displaystyle X_{i}} , а каждой паре ( i , j ) {displaystyle (i,;j)} , i , j ∈ I {displaystyle i,;jin I} , в которой i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , сопоставлен гомоморфизм f i j : X i → X j {displaystyle f_{ij}:X_{i} o X_{j}} , причём f i i {displaystyle f_{ii}} — тождественные отображения для любого i ∈ I {displaystyle iin I} и f i k = f j k ∘ f i j {displaystyle f_{ik}=f_{jk}circ f_{ij}} для любых i ⩽ j ⩽ k {displaystyle ileqslant jleqslant k} из I {displaystyle I} . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.
Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей X i {displaystyle X_{i}} по отношению эквивалентности:
lim → X i = ⨆ i X i / ∼ . {displaystyle varinjlim X_{i}=igsqcup _{i}X_{i}{igg /}sim .}Здесь x i ∈ X i {displaystyle x_{i}in X_{i}} и x j ∈ X j {displaystyle x_{j}in X_{j}} эквивалентны, если существует такое k ∈ I {displaystyle kin I} , что f i k ( x i ) = f j k ( x j ) {displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})} . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть x i ∼ f i k ( x i ) {displaystyle x_{i}sim ,f_{ik}(x_{i})} .
Из этого определения легко получить канонические морфизмы ϕ i : X i → X {displaystyle phi _{i}:X_{i} ightarrow X} , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на X {displaystyle X} можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.
В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — это объект X {displaystyle X} категории, такой что выполняются следующие условия:
Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.