17.12.2020

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой, в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

Определение

Пусть S 1 ( t ) {displaystyle S_{1}(t)} и S 2 ( t ) {displaystyle S_{2}(t)} — цены двух рискованных активов в момент t {displaystyle t} , каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный q i {displaystyle q_{i}} . Опцион C {displaystyle C} , который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения T {displaystyle T} . Другими словами его выигрыш C ( T ) {displaystyle C(T)} составит max ( 0 , S 1 ( T ) − S 2 ( T ) ) {displaystyle max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))} .

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность σ {displaystyle sigma } их отношения S 1 / S 2 {displaystyle S_{1}/S_{2}} является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности S i {displaystyle S_{i}} равны σ i {displaystyle sigma _{i}} , то σ = σ 1 2 + σ 2 2 − 2 σ 1 σ 2 ρ {displaystyle extstyle sigma ={sqrt {sigma _{1}^{2}+sigma _{2}^{2}-2sigma _{1}sigma _{2} ho }}} , то ρ {displaystyle ho } — коэффициент корреляции броуновских движений S i {displaystyle S_{i}} .

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

e − q 1 T S 1 ( 0 ) N ( d 1 ) − e − q 2 T S 2 ( 0 ) N ( d 2 ) {displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}

где через N {displaystyle N} обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

d 1 = ln ⁡ ( S 1 ( 0 ) / S 2 ( 0 ) ) + ( q 2 − q 1 + σ 2 / 2 ) T σ T {displaystyle d_{1}={frac {ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+sigma ^{2}/2)T}{sigma {sqrt {T}}}}} ,

d 2 = d 1 − σ T {displaystyle d_{2}=d_{1}-sigma {sqrt {T}}} .

Доказательство

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

  • Во первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах S 2 {displaystyle S_{2}} (в таких случаях говорят, что S 2 {displaystyle S_{2}} используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит S 1 / S 2 {displaystyle S_{1}/S_{2}} единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
  • При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка q 2 {displaystyle q_{2}} совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен max ( 0 , S 1 ( T ) / S 2 ( T ) − 1 ) {displaystyle max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)} .
  • Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка q 1 {displaystyle q_{1}} первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
  • Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива S 1 ( 0 ) / S 2 ( 0 ) {displaystyle S_{1}(0)/S_{2}(0)} , процентная ставка q 2 {displaystyle q_{2}} , волатильность σ {displaystyle sigma } и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
  • Так как окончательная цена опциона выражена в единицах S 2 {displaystyle S_{2}} , то умножение на S 2 ( 0 ) {displaystyle S_{2}(0)} переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: