15.12.2020

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой I {displaystyle I} (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом X ( 1 ) {displaystyle X(1)} .

Свойства

  • Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  • Для треугольника △ A B C {displaystyle riangle ABC} со сторонами a {displaystyle a} , b {displaystyle b} и c {displaystyle c} , противолежащими вершинам A {displaystyle A} , B {displaystyle B} и C {displaystyle C} соответственно, инцентр делит биссектрису угла A {displaystyle A} в отношении: b + c a {displaystyle {frac {b+c}{a}}} .
  • Если продолжение биссектрисы угла B {displaystyle B} пересекает описанную окружность △ A B C {displaystyle riangle ABC} в точке D {displaystyle D} , то выполняется равенство: D A = D C = D I = D J {displaystyle DA=DC=DI=DJ} , где J {displaystyle J} — центр вневписанной окружности, касающейся стороны A C {displaystyle AC} ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).
  • Расстояние между инцентром I {displaystyle I} и центром описанной окружности O {displaystyle O} выражается формулой Эйлера: O I 2 = R 2 − 2 R r {displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr} ,
где R {displaystyle R} и r {displaystyle r} — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.
  • Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).
  • Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)
  • Лемма Веррьера. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).
  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой..
    • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
Теорема Тебо 3
  • Третья теорема Тебо. Пусть A B C {displaystyle ABC} — произвольный треугольник, D {displaystyle D} — произвольная точка на стороне B C {displaystyle BC} , I 1 {displaystyle I_{1}} — центр окружности, касающейся отрезков A D , B D {displaystyle AD,BD} и описанной около Δ A B C {displaystyle Delta ABC} окружности, I 2 {displaystyle I_{2}} — центр окружности, касающейся отрезков C D , A D {displaystyle CD,AD} и описанной около Δ A B C {displaystyle Delta ABC} окружности. Тогда отрезок I 1 I 2 {displaystyle I_{1}I_{2}} проходит через точку I {displaystyle I} — центр окружности, вписанной в Δ A B C {displaystyle Delta ABC} , и при этом I 1 I : I I 2 = tg 2 ⁡ ϕ 2 {displaystyle I_{1}I:II_{2}=operatorname {tg} ^{2}{frac {phi }{2}}} , где ϕ = ∠ B D A {displaystyle phi =angle BDA} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: