» » Точное и приближенное решения при D=const, h=const
13.01.2015

Для восстановления углерода в обезуглероженном слое стали прибегают к реставрационному науглероживанию в атмосфере с высоким углеродным потенциалом.
В абсолютном большинстве практических случаев приходится иметь дело с науглероживанием массивного металла, толщина которого значительно превышает диффузионную зону. Поверхностная концентрация углерода в этом случае в течение относительно длительного времени не достигает предельного значения, и процесс реставрационного науглероживания протекает при граничных условиях третьего рода.
Точное выражение для расчета содержания углерода при реставрационном науглероживании металла при граничных условиях третьего рода можно получить, исходя из теоретического начального распределения углерода, описываемого уравнением
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Для упрощения вычислений при расчете реставрационного науглероживания обезуглероженной стали принято пользоваться экспоненциальной кривой для начального распределения углерода в обезуглероженной слое:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Задача сводится к решению одномерного уравнения диффузии
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

при начальном условии (157) и (158) и граничном условии третьего рода:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

При Cокр2 = const, D2 = const, h2 = const точное решение имеет вид:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

D — коэффициент диффузии углерода в стали, см2/с; т — время, с; h — относительный коэффициент массоотдачи, 1/см; х — расстояние от поверхности металла, см; индекс 1 относится к условиям обезуглероживания, индекс 2 — к условиям реставрационного науглероживания.
Решение при экспоненциальном начальном распределении углерода:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

ψh (х) = 0 при h — ∞ и решение (162) превращается в решение, полученное для граничных условий первого рода:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

При Спов=0 получим решение, приведенное в работе, а при Cпов=C0 решение для постоянной начальной концентрации
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

с учетом (164) решение (162) можно записать в виде
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Выражение для А (х) при х≠0 можно записать в критериальной форме:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Уравнения (164) и (166) часто используют при решении задач, связанных с обезуглероживанием и цементацией стали.
Вспомогательные таблицы и графики для определения Ф, ψk(O), А (х) приведены в работах.
Проанализируем точное и приближенное решения. Теоретическое содержание углерода на поверхности обезуглероженного слоя Спов можно получить из уравнения (157) при х=0:
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Разделив уравнение (157) на (167), получим начальные условия для науглероживания в виде
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Приравнивая правые части уравнений (168) и (158), найдем
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Изменение α в соответствии с уравнением (169) показано на рис. 97 Значения α в глубине обезуглероженного слоя отнесены к его значению на поверхности. Из графика видно, что изменение показателя экспоненты довольно велико, т. е., определяя а по содержанию углерода на разной глубине, получим существенно различающиеся его значения.
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Влияние показателя экспоненты на распределение углерода в поверхностном слое можно проследить по данным, приведенным на рис. 98, на котором кривая 1 соответствует теоретической кривой (157) при h1=∞, √D1т1=0,5 см; кривая 2 — уравнению (169), 3 — уравнению (162) (αпов=1,13), 4 — то же (αx=1= 1,85). Сравнивая кривые, приведенные на рис. 98, легко видеть, что все они существенно отличаются друг от друга.
Для нахождения оптимального значения показателя экспоненты αопт, минимизируя сумму квадратов отклонений между кривыми по уравнениям (158) и (168), получим
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Решение уравнения (170) имеет вид
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

По уравнению (171) построен график, приведенный на рис. 99, по которому можно определить оптимальное значение показателя
экспоненты. Так, для условия примера, показанного на рис. 98, получим из графика на рис. 99 значение αопт=1,52. Кривая 5 на рис. 98 является экспонентой с этим показателем.
Точное и приближенное решения при D=const, h=const

Сравнение результатов расчета, выполненного в соответствии с точным решением, в котором в качестве начального распределения углерода принято распределение по уравнению (157), и результатов, полученных при экспоненциальной аппроксимации кривой обезуглероживания с показателем αопт, показало, что расхождение в содержании углерода на различных участках диффузионной зоны не превысило 1—7%. Таким образом, расчет реставрационного науглероживания стали при граничных условиях третьего рода может быть выполнен с весьма высокой точностью и в случае экпоненциальной аппроксимации кривой обезуглероживания, если в расчетах показатель экспоненты αопт определять по уравнению (171.) или по данным рис. 99.