» » Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности
21.12.2014

Уравнения равновесия показывают зависимость напряжений от координат, В общем случае объемного напряженного состояния имеем три уравнения равновесия:
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

Уравнение пластичности связывает напряжения, необходимые для осуществления пластической деформации, с физическими свойствами деформируемого тела (сопротивление деформации σт).
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

Эти уравнения содержат 6 неизвестных (три нормальных и три касательных). Число уравнений меньше числа неизвестных. Присоединим к ним шесть уравнений связи (между напряжениями и деформациями):
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

(связь между модулями G' = Е'/З) и три уравнения неразрывности деформации:
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

B последних девяти уравнениях содержатся еще семь неизвестных: три линейные деформации, три деформации сдвига, модуль деформации второго рода G' (или модуль пластичности E').
В результате для объемного напряженного состояния имеем 13 уравнений с 13-ю неизвестными.
Решение этой системы уравнений в принципе возможно, так как число уравнений равно числу неизвестных, но практически эта задача не разрешима из-за большого числа неизвестных в частных производных.
Задача упрощается для частных случаев напряженно-деформированного состояния.
Для осесимметричного напряженного состояния имеем два уравнения равновесия, одно уравнение пластичности, четыре уравнения связи и одно уравнение неразрывности деформаций. Итого восемь уравнений с 8-ю неизвестными.
Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний имеем два уравнения равновесия
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

и одно уравнение пластичности:
- для плоского напряженного состояния
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

- для плоского деформированного состояния
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

где σ11, σ33 - нормальные напряжения на произвольной площадке; σ13 - касательное напряжение; k - постоянная пластичности - максимальное касательное напряжение (сопротивление чистому сдвигу при пластическом деформировании). k=σт/√3.
Всего три уравнения с тремя неизвестными.
Несмотря на эти значительные упрощения задачи для осесимметричного, плоского напряженного или плоского деформированного состояния, для данных случаев также решено ограниченное число задач,
Более широкое применение получил метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности (инженерный метод). Его широко применяют для расчета усилий и расхода энергии при ОМД.
Метод основан на следующих положениях:
- напряженно-деформированное состояние принимают либо осесимметричным, либо плоским. При деформации тела сложной формы его условно разделяют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно условно назвать плоским;
- дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи упрощают допущением, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря чему остается только одно дифференциальное уравнение, в котором вместо частных производных можно принять обыкновенные (дифференциал).
Последнее допущение исключает возможность определения напряжений в каждой точке деформируемого тела в отличие от метода совместного решения точных дифференциальных уравнений равновесия с уравнением пластичности и метода линий скольжения.
Инженерный метод позволяет определить напряжения только на контактной поверхности деформируемого тела с инструментом, по которым затем можно найти усилие деформации.
Рассмотрим применение метода совместного решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности на примере осадка полосы неограниченной длины между плоскими шероховатыми плитами. Задача впервые решена Е.П. Унксовым. Начало координат расположим в центре образца. Так как длина образца (перпендикулярно плоскости чертежа) бесконечна, деформация в этом направлении будет пренебрежимо мала, то есть это случай плоского деформированного состояния. Вследствие симметрии полосы относительно оси х3 определим напряжения для правого сечения.
Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности

Выделим в теле бесконечно малый объем dх1 длину этого объема примем равной единице, приложим к нему все силы и примем допущения:
- деформация плоская (допущение 1);
- искажением формы пренебрегаем (2);
- нормальные напряжения Un не зависят от ОСИ Xt,, то есть постоянны по высоте и зависят только от координаты х1;
- касательные напряжения σ13 не зависят от оси х1 (4).
Принимаем эти величины компонентами функции только одной переменной.
Систему уравнений равновесия для объемного состояния переводим а систему для плоского деформированного состояния.