» » Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов
27.01.2015

В общем случае прочность металлов возрастает с уменьшением размера зерна. Найдено, что часто эта зависимость следует хорошо известному соотношению Холла—Петча:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где σ — предел текучести при растяжении или напряжение течения;
d — размер зерна;
σi и К — параметры, характеризующие данный материал.
Армстронгом и др. показано, что уравнение (1) может относиться и к пределу текучести, и к напряжению течения, превышающему предел текучести.
Для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов предложено две модели: модель скопления дислокаций Холла и Петча и модель деформационного упрочнения Конрада, Микина и Петча (рис. 1 и 2).
В модели Холла и Петча размер зерна оказывает влияние на число дислокаций n, скапливающихся на отрезке длиной L между источником дислокаций внутри зерна и границей, что в свою очередь влияет на концентрацию напряжения τq у головной дислокации скопления, которое вызывает размножение или движение дислокаций в точке А непосредственно перед скоплением или в точке В, отстоящей на расстоянии l от него. Согласно Коттрелу, концентрация напряжения в точке А определяется выражением:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где τ — приложенное напряжение сдвига;
τi — напряжение трения в плоскости скольжения, препятствующее движению дислокаций. Можно показать, что число дислокаций в скоплении
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где b — величина вектора Бюргерса;
μ — модуль сдвига.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Отсюда
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Аналогично может быть показано, что в точке В
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Если принять, что L=1/2d, где d — среднее значение диаметра зерна, а текучесть или пластическое течение происходят при некотором постоянном значении напряжения τc, то из уравнений (4) и (5) при L/l≥1 следует, что
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где k=√μbτc для точки Л; k=τc√2l для точки В. Уравнение (6) эквивалентно соотношению Холла—Петча (1).
Напряжение трения τi в уравнении (6) можно рассматривать состоящим из двух компонент: термической компоненты τ*, обусловленной короткодействующими препятствиями для перемещения дислокаций в плоскости скольжения, и атермической компоненты τμ, обусловленной дальнодействующими препятствиями. Тогда
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Компоненту τμ можно разделить на две составляющие: τμp и τμ0, обусловленные действием соответственно дислокаций вне плоскости Скольжения и всех остальных дефектов кристаллической решетки.
Составляющую дальнодействующего напряжения τμp, обусловленную присутствием других дислокаций, можно записать в виде:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где α — постоянная порядка 0,1—1,0.
Принимая во внимание все компоненты напряжения трения τi, уравнение (6) можно представить в виде развернутого выражения:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

В модели деформационного упрочнения предполагается, что при данной степени деформации плотность дислокаций в образце с мелким зерном выше, чем с крупным, и это приводит к большему среднему внутреннему напряжению и, следовательчо, к большему напряжению течения у такого материала. Таким образом, в этой модели величина зерна влияет на напряжение течения материала косвенно благодаря воздействию масштабного фактора на плотность дислокаций. Кроме того, в этой модели придается особое значение перемещению дислокаций на всем протяжении зерна, а не только их поведению в непосредственной близости от границы.
В модели деформационного упрочнения соотношение Холла—Петча получается следующим образом. Напряжение течения, определяющее перемещение дислокаций в пределах каждого зерна, рассматривается состоящим только из термической и атермической компонент:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Снова τμ можно представить в виде суммы τμp+τμ, где τμp=αμbр1/2.
Тогда
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Как было отмечено Конрадом, соотношение Холла—Петча получается из уравнения (11) в случае, если при данной степени деформации плотность дислокаций в материале пропорциональна величине, обратной диаметру зерна.
Такая зависимость плотности дислокаций от величины зерна может быть получена, если считать, что величина эта влияет главным образом на среднюю длину свободного скольжения. Полагая, что деформация сдвига
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где р — плотность дислокаций;
s — среднее расстояние, на которое перемещаются дислокации, и считая в первом приближении
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

где С — постоянная, получаем искомую зависимость комбинацией уравнений (12) и (13):
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

В данном случае р0 — начальная плотность дислокаций. Подставляя значение р в уравнение (11), получаем:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Полагая р0≤γ/bCd, уравнение (15) приводим к виду:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

эквивалентному соотношению Холла—Петча с τi=τ*+τμ0 и
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Это один из способов определения зависимости р=f(d-1), приводящий к соотношению Холла—Петча. Ли предлагает другой подход, основывающийся на предположении, что дислокации генерируются выступами границ зерен. Если считать, что плотность расположения выступов не изменяется от зерна к зерну и не зависит от его диаметра, то число дислокаций, генерируемых за единичную деформацию, будет пропорционально площади поверхности границ зерен. Из этого следует, что при малой пластической деформации плотность дислокаций р обратно пропорциональна диаметру зерна d.
Эшби предлагает третью модель, приводящую к обратной пропорциональности между плотностью дислокаций и величиной зерна. Он полагает, что зависимость такого вида непосредственно следует из рассмотрения плотности дислокаций, требуемой для уравновешивания неравномерной деформации, которая должна происходить в соседних зернах в процессе деформации поликристаллического материала.
Таким образом, при деформации поликристаллического материала можно ожидать обратную зависимость между ρ и d, приводящую в свою очередь к соотношению Холла—Петча в модели деформационного упрочнения. Однако необходимо отметить, что эта модель в ее общем виде не требует существования соотношения Холла—Петча, т. е. прямой зависимости напряжения течения от диаметра зерна. Достаточно, чтобы его влияние было косвенным, оказывая воздействие на плотность дислокаций при данной степени деформации и, следовательно, на внутренние напряжения в материале. Если ρ=d-1 или, что одно и то же, ρ1/2=d-1/2, то это приводит к соотношению Холла—Петча.
Из сравнения уравнений (9) и (11) следует, что в любом конкретном случае возможно опытным путем выяснить, применима ли здесь модель скопления дислокаций или модель деформационного упрочнения. В первом случае зависимость напряжения течения от ρ1/2 для образцов с разной величиной зерна должна давать серию параллельных прямых с наклоном αμb и отсекаемыми на оси ординат отрезками (τ*+τμ0+kd-1/2). Таким образом, линии будут смещены друг относительно друга на величину k(Δd)-1/2.
Для модели деформационного упрочнения эта же зависимость должна давать одну прямую для всех размеров зерна с наклоном αμb и отсекаемым на оси ординат отрезком (τ*+τμ0). Кроме того, если в этом случае и зависимость напряжения течения от размера зерна подчиняется соотношению Холла—Петча, то постоянные τi и k, вычисляемые по данным измерений плотности дислокаций — Уравнение (15), должны соответствовать величинам, получаемым из результатов обработки кривых Холла—Петча.
До сих пор модель, рассматривающая скопления дислокаций, не имеет достаточного экспериментального подтверждения. Однако для модели деформационного упрочнения такое подтверждение, по-видимому, имеется, и в данной статье будут рассмотрены результаты, свидетельствующие об этом. На основе этой модели можно показать, что существует единственное соотношение между плотностью дислокаций и напряжением течения в форме уравнения (11), согласно которому напряжение течения не зависит от величины зерна, и что постоянные σi и К, определяемые из макроскопических измерений напряжения течения, согласуются с теми же величинами, получаемыми из измерений плотности дислокаций.
Экспериментальные результаты

Влияние величины зерна на напряжение течения металлов

На рис. 3 и 4 приведены примеры кривых Холла—Петча, показывающих влияние величины зерна на напряжение течения металлов (химический состав ниобия и титана дан в табл. 1). Видно, что для деформированного растяжением ниобия (см. рис. 3) напряжение почти не зависит от степени деформации, в то время как коэффициент К с ее увеличением возрастает. Подобное поведение наблюдалось и для ниобия, деформированного прокаткой. Совершенно противоположная тенденция обнаруживается в поведении титана (рис. 4). Данные по другим металлам указывают на то, что обычно напряжение d возрастает с увеличением степени деформации, тогда как в изменениях коэффициента К не обнаруживается никакой определенной закономерности.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Влияние степени деформации на плотность дислокаций

На рис. 5—7 показаны примеры влияния степени деформации металла на плотность дислокаций ρ (измеряемую методом электронной микроскопии тонких фольг на просвет). Очевидно, что влияние это зависит от величины зерна. При деформациях, превышающих примерно 1%, полученные экспериментальные данные весьма точно описываются соотношением
ρ≈ρ0 + Aε.

Для ниобия начальная плотность дислокаций ρ0 от величины зерна, по-видимому, почти не зависит, в то время как коэффициент А возрастает с уменьшением размера зерна. Подобным образом ведут себя железо и ванадий — металлы с о.ц.к решеткой. В случае титана (г. п. у. решетка) величина А почти не зависит от размера зерна, а ρ0 повышается с уменьшением его.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Зависимость напряжения течения от плотности дислокаций

На рис. 8 и 9 приведены зависимости напряжения течения от корня квадратного из плотности дислокаций для ниобия и титана. Очевидно, что, за исключением иодидного титана с величиной зерна 28 мкм, для любого другого материала экспериментальные точки лежат на одной прямой независимо от величины зерна. Такое поведение наблюдалось у Fe и V.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

В табл. 2 сведены значения величин τf=τ*+τμ, и α ряда металлов, определенные различными авторами из графиков зависимости напряжения течения от ρ1/2. Отметим, что величина α имеет значения в соответствии с теорией деформационного упрочнения.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Кроме того, значение τf в каждом случае согласуется с теоретическими величинами, получаемыми на основе рассмотрения движения дислокаций.
Обсуждение результатов

Мы установили, что независимо от величины зерна напряжение течения материала возрастает линейно в функции корня квадратного из плотности дислокаций. Это подтверждает модель деформационного упрочнения, принимаемую для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения. Кроме того, дополнительным подтверждением этой модели является соответствие значений τf и α, получаемых из зависимости τ=f(р1/2), теоретическим значениям, вычисляемым по модели деформационного упрочнения.
Для дополнительной проверки этой модели необходимо сравнить значения параметров τi и k из экспериментов по влиянию величины зерна на напряжение течения металлов со значениями, получаемыми из результатов измерений плотности дислокаций. Однако в том случае, когда р0 сравнимо с Aε, возникает некоторая трудность в определении постоянных Холла—Петча непосредственно из уравнения (15). Для приближенного графического решения задачи необходимо построить график зависимости p1/2=(d-1/2) стараясь как можно точнее провести прямую через экспериментальные точки. По наклону этой линии можно определить коэффициент К, а по отсекаемому на оси ординат отрезку — величину σi.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Ha рис. 10 и 11 представлены графики функций р1/2=f(d-1/2) для ниобия и титана. Приведенные данные в каждом случае удовлетворительно совпадают с прямой, задаваемой уравнением
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

В результате подстановки выражения (17) в уравнение (11) получим:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

Из сравнения уравнений (18) и (6) имеем:
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов

В табл. 3 значения σi и К, вычисленные согласно уравнениям (19) и (20), приведены наряду со значениями этих величин, определенными из графиков функций σ=f(d~l/2). Совпадение между двумя группами величин вполне удовлетворительное.
Для дальнейшей проверки модели деформационного упрочнения значения коэффициента К, вычисленные по имеющимся в литературе данным измерений плотности дислокаций в поликристаллических меди, серебре, железе, ванадии и вольфраме, сравниваются в табл. 4 со значениями этого коэффициента, определенными из кривых Холла—Петча. Вновь наблюдается хорошее совпадение теоретических и экспериментальных значений коэффициента К.
Модель деформационного упрочнения для объяснения влияния величины зерна на напряжение течения металлов