14.10.2021

Дополнение Шура — некоторая квадратная матрица, получающаяся при разбиении квадратной матрицы на четыре части.

Определение

Представим квадратную матрицу A {displaystyle A} в блочном виде:

A = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) {displaystyle A={egin{pmatrix}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{pmatrix}}} ,

где A 11 , A 12 , A 21 , A 22 {displaystyle A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}} — матрицы размеров n × n , n × m , m × n , m × m {displaystyle n imes n,n imes m,m imes n,m imes m} , соответственно.

Матрица ( A / A 11 ) = A 22 − A 21 A 11 − 1 A 12 {displaystyle left(A/A_{11} ight)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}} называется дополнением Шура матрицы A 11 {displaystyle A_{11}} в матрице A {displaystyle A} .

Свойства

  • с помощью дополнения Шура может быть вычислен определитель матрицы | A | {displaystyle |A|} . Если | A 11 | ≠ 0 {displaystyle |A_{11}| eq 0} , то | A | = | A 11 | ⋅ | A / A 11 | {displaystyle |A|=|A_{11}|cdot |A/A_{11}|} ;
  • дополнение Шура используется при сведении алгоритмической задачи обращения матриц к задаче умножения матриц, для решения которой существует много специализированных быстрых алгоритмов.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: