02.08.2021

Случайное множество — измеримое отображение K {displaystyle K} семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},mathbf {P} )} в некоторое пространство M {displaystyle {mathcal {M}}} , элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если M {displaystyle {mathcal {M}}} — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

  • M = F {displaystyle {mathcal {M}}={mathcal {F}}} — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства S {displaystyle S} , называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
  • M = O {displaystyle {mathcal {M}}={mathcal {O}}} — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
  • M = H {displaystyle {mathcal {M}}={mathcal {H}}} — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам
  • M = K {displaystyle {mathcal {M}}={mathcal {K}}} — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
  • M = c o n v ( K ) {displaystyle {mathcal {M}}={ m {conv}}({mathcal {K}})} — подпространство выпуклых элементов K {displaystyle {mathcal {K}}} , при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество K {displaystyle K} со свойством K = K ∩ D ¯ {displaystyle K={overline {Kcap D}}} , где D {displaystyle D} счётно и всюду плотно в S {displaystyle S} .

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т. п.).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: