Случайное множество — измеримое отображение K {displaystyle K} семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},mathbf {P} )} в некоторое пространство M {displaystyle {mathcal {M}}} , элементами которого являются множества.
Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если M {displaystyle {mathcal {M}}} — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:
Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.
Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество K {displaystyle K} со свойством K = K ∩ D ¯ {displaystyle K={overline {Kcap D}}} , где D {displaystyle D} счётно и всюду плотно в S {displaystyle S} .
Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.
Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).
Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т. п.).