24.06.2021

Экономика обмена — упрощенная формализованная микроэкономическая модель общего равновесия в экономике без производства. Экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множествами их допустимых потребительских наборов, их предпочтениями и начальными запасами экономических благ. Экономики с производством благ рассматривается в модели Эрроу-Дебрё.

Описание модели

Пусть I = { 1 , . . , n } {displaystyle I={1,..,n}} — множество потребителей, X i {displaystyle X_{i}} — множества допустимых потребительских наборов x i {displaystyle x_{i}} , где i ∈ I {displaystyle iin I} . Потребительские наборы представляют собой k {displaystyle k} -мерные векторы, где k {displaystyle k} — количество благ в экономике. Обычно предполагается, что X i ⊂ R + k {displaystyle X_{i}subset R_{+}^{k}} .

В экономике обмена у потребителей имеются некоторые начальные запасы x i 0 {displaystyle x_{i}^{0}} . В результате обмена между потребителями их потребительские наборы меняются. Экономика предполагается замкнутой и без производства, поэтому сумма потребительских наборов после обмена не может превышать сумму первоначальных запасов. В простейшем случае предполагается их равенство:

∑ i x i = ∑ i x i 0 {displaystyle sum _{i}x_{i}=sum _{i}x_{i}^{0}}

Обмен осуществляется по некоторым ценам (одинаковым для всех сделок всех потребителей). Обозначим вектор цен p {displaystyle p} . Бюджетные множества B i ( p , x i 0 ) {displaystyle B_{i}(p,x_{i}^{0})} потребителей представляют допустимые наборы x i ∈ X i {displaystyle x_{i}in X_{i}} , удовлетворяющие следующим бюджетным ограничением:

p x i ⩽ p x i 0 = R i {displaystyle px_{i}leqslant px_{i}^{0}=R_{i}}

где R i {displaystyle R_{i}} — «доход» от (потенциальной) продажи начальных запасов.

Далее предполагается, что потребители совершают обменные операции исходя из своих предпочтений, а именно они выбирают те наборы x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} из B i {displaystyle B_{i}} , чтобы любые лучшие (в смысле их предпочтений) допустимые наборы не принадлежали бюджетному множеству, то есть:

∀ x i ∈ X i , x i ≻ x ¯ i => x i ∉ B i {displaystyle forall x_{i}in X_{i},x_{i}succ {overline {x}}_{i}=>x_{i} otin B_{i}}

Если предпочтения описываются функцией полезности, то это формулируется как стандартная задача потребителя по максимизации полезности на бюджетном множестве:

{ u i ( x i ) → max x i x i ∈ B i ( p , R i ) {displaystyle {egin{cases}u_{i}(x_{i}) ightarrow max _{x_{i}}x_{i}in B_{i}(p,R_{i})end{cases}}}

При любом векторе цен p {displaystyle p} выполнен так называемый закон Вальраса, который в данном случае можно записать как

∑ i R i = p ∑ i x i {displaystyle sum _{i}R_{i}=psum _{i}x_{i}}

Непосредственно отсюда следует, что если хотя бы для одного потребителя бюджетное ограничение будет строгим p x i < R i {displaystyle px_{i}<R_{i}} , то должен найтись хотя бы один потребитель для которого бюджетное ограничение нарушается, что недопустимо. Таким образом, фактически бюджетные ограничения всех потребителей будут выполнены со знаком равенства:

p x i = R i {displaystyle px_{i}=R_{i}}

Решения задач потребителей позволяют определить функции (отображения) спроса x i ( p ) = x i ( p , R i ) = x i ( p , p x i 0 ) {displaystyle x_{i}(p)=x_{i}(p,R_{i})=x_{i}(p,px_{i}^{0})} . Функция (отображение) E ( p ) = ∑ i ( x i ( p ) − x i 0 ) {displaystyle E(p)=sum _{i}(x_{i}(p)-x_{i}^{0})} называется функцией избыточного спроса в экономике обмена. Закон Вальраса через функцию избыточного спроса формулируется как

p E ( p ) = 0 {displaystyle pE(p)=0}

Равновесие в экономике обмена

Равновесием по Вальрасу в экономике обмена называется равновесный вектор цен p ¯ {displaystyle {overline {p}}} и совокупность потребительских наборов x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} , таких, что каждый вектор x ¯ i {displaystyle {overline {x}}_{i}} является решением задачи i-го потребителя при ценах p ¯ {displaystyle {overline {p}}} и доходе R i = p ¯ x i 0 {displaystyle R_{i}={overline {p}}x_{i}^{0}} , причем выполнено тождество ∑ i x ¯ i = ∑ i x i 0 {displaystyle sum _{i}{overline {x}}_{i}=sum _{i}x_{i}^{0}} .

Можно показать, что если множество допустимых потребительских наборов включает в себя только неотрицательные наборы, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, начальные запасы всех потребителей строго положительны и существует хотя бы один потребитель с монотонными предпочтениями, то существует равновесие в экономике обмена с некоторым положительным вектором равновесных цен. Требование положительности запасов всех потребителей можно ослабить до положительности суммарных запасов, если дополнительно предположить, что предпочтения всех потребителей (а не только хотя бы одного) монотонны.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: