31.05.2021

Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.

Определение

Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством

| z | < 1 {displaystyle |z|<1} или (что то же самое), z z ¯ < 1 {displaystyle z{ar {z}}<1} .

В действительных координатах x + i y = z {displaystyle x+iy=z} неравенство выглядит как:

x 2 + y 2 < 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}<1} .

Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.

Единичный круг обычно обозначается как Δ {displaystyle Delta } или D {displaystyle D} .

Автоморфизмы единичного круга

С точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:

f ( z ) = e i φ z + b 1 + b ¯ z ,   | b | < 1 {displaystyle f(z)=e^{ivarphi }{frac {z+b}{1+{ar {b}}z}}, |b|<1}

Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ( φ {displaystyle varphi } ) — поворотами.

С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.

Модель Пуанкаре

Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:

d s 2 = 4 d z d z ¯ ( 1 − | z | 2 ) 2 = 4 d x 2 + d y 2 ( 1 − x 2 − y 2 ) 2 . {displaystyle ds^{2}=4{frac {dz,d{ar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.}

Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.

Круг или полуплоскость?

С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.

Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).

Другие значения

В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: