27.05.2021

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается N {displaystyle N} .

Свойства

  • Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
  • Если точки T A ∈ B C {displaystyle T_{A}in BC} , T B ∈ C A {displaystyle T_{B}in CA} , T C ∈ A B {displaystyle T_{C}in AB} таковы, что каждый из отрезков A T A {displaystyle AT_{A}} , B T B {displaystyle BT_{B}} и C T C {displaystyle CT_{C}} делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
  • Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
  • Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
  • Расстояние между ортоцентром H {displaystyle H} и точкой Нагеля N {displaystyle N} равно диаметру окружности Фурмана и равно
N H = 2 R a 3 − a 2 b − a b 2 + b 3 − a 2 c + 3 a b c − b 2 c − a c 2 + c 3 a b c {displaystyle NH=2R{sqrt {frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}} .
  • Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром.
  • Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.
  • Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).

Треугольник Нагеля

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника A B C {displaystyle ABC} определяется вершинами T A {displaystyle T_{A}} , T B {displaystyle T_{B}} и T C {displaystyle T_{C}} , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника A B C {displaystyle ABC} и точка T A {displaystyle T_{A}} противоположна стороне A {displaystyle A} , и т. д.

Свойства

  • Описанная вокруг треугольника T A T B T C {displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}} окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
  • Три прямые A T A {displaystyle AT_{A}} , B T B {displaystyle BT_{B}} и C T C {displaystyle CT_{C}} делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля N {displaystyle N} — X(8).
  • Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.
  • Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.
Анимация построения точки Нагеля

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: