21.05.2021

Тензор Эйнштейна ( G μ ν {displaystyle G_{mu u }} ) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит n ( n + 1 ) / 2 {displaystyle n(n+1)/2} независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи R μ ν {displaystyle R_{mu u }} и половины метрического тензора g μ ν {displaystyle g_{mu u }} , умноженного на скалярную кривизну R {displaystyle R} :

G μ ν = R μ ν − 1 2 g μ ν R {displaystyle G_{mu u },=R_{mu u }-{frac {1}{2}},g_{mu u },R} .

Домножив обе части этого равенства на g μ ν {displaystyle g^{mu u }} и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

Tr G μ ν = 2 − n 2 R {displaystyle operatorname {Tr} ,G_{mu u },={frac {2,-n}{2}},R} .

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

Tr G μ ν = − R {displaystyle operatorname {Tr} ,G_{mu u },=-,R} .

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

G ν ; μ μ ≡ 0 {displaystyle G_{ u ;mu }^{mu }equiv 0} ,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: