В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка t = t 0 ∈ C {displaystyle t=t_{0}in mathbb {C} } называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения
z ˙ = A ( t ) z , z ∈ C n , t ∈ C , {displaystyle {dot {z}}=A(t)z,quad zin mathbb {C} ^{n},quad tin mathbb {C} ,}если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.
Говорят также, что t = ∞ {displaystyle t=infty } является фуксовой особой точкой, если точка s = 0 {displaystyle s=0} оказывается фуксовой после замены t = 1 / s {displaystyle t=1/s} , иными словами, если матрица системы A ( t ) {displaystyle A(t)} стремится к нулю на бесконечности.
Простейший пример
Одномерное дифференциальное уравнение z ˙ = a t z {displaystyle {dot {z}}={frac {a}{t}}z} имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции z ( t ) = C ⋅ t a {displaystyle z(t)=Ccdot t^{a}} . При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на λ = e 2 π i a {displaystyle lambda =e^{2pi ia}} .
Рост решений и отображение монодромии
При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:
‖ z ( t − t 0 ) ‖ ≤ C ‖ t − t 0 ‖ − N {displaystyle |z(t-t_{0})|leq C|t-t_{0}|^{-N}}для некоторых констант C {displaystyle C} и N {displaystyle N} . Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.
Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля
21-я проблема Гильберта
Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.
В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.