» » Кубические простые числа

28.01.2021

Кубические простые числа — это простые числа, которые являются решением одного из двух кубических уравнений третьей степени от переменных x и y. Первая пара таких уравнений:

p = x 3 − y 3 x − y ,   x = y + 1 ,   y > 0 {displaystyle p={frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}, x=y+1, y>0}

и первые несколько таких кубических простых чисел:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, …

Такие числа могут быть переписаны в виде ( y + 1 ) 3 − y 3 y + 1 − y {displaystyle { frac {(y+1)^{3}-y^{3}}{y+1-y}}} , что можно упростить до 3 y 2 + 3 y + 1 {displaystyle 3y^{2}+3y+1} . Это выражение как раз определяет центрированные шестиугольные числа; таким образом, все эти кубические простые числа являются центрированными шестиугольными.

К январю 2006 наибольшее известное такое число имело 65 537 знаков, где y = 100000845 4096 , {displaystyle y=100000845^{4096},} было найдено Йенсом Крузом Андерсеном (Jens Kruse Andersen).

Второе уравнение:

p = x 3 − y 3 x − y ,   x = y + 2 ,   y > 0 , {displaystyle p={frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}, x=y+2, y>0,}

упрощается до 3 y 2 + 6 y + 4 {displaystyle 3y^{2}+6y+4} . При подстановке y = n − 1 {displaystyle y=n-1} его можно переписать как 3 n 2 + 1 ,   n > 1 {displaystyle 3n^{2}+1, n>1} .

Несколько первых кубических чисел этого вида:

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, …

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: