Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским.
Построение
Рассмотрим прямоугольник
S = [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; 1 2 ] {displaystyle S=[0;1] imes left[0;{ frac {1}{2}} ight]}Построим на его нижнем ребре канторово множество C {displaystyle C} и обозначим через A {displaystyle A} множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через B {displaystyle B} все остальные точки из C {displaystyle C} . Пусть L c {displaystyle L_{c}} это отрезок прямой, соединяющий точку c ∈ C {displaystyle cin C} с точкой s = ( 1 2 ; 1 2 ) . {displaystyle s=left({ frac {1}{2}};{ frac {1}{2}} ight).}
В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество X = Q ∪ I {displaystyle X=Qcup I} , где
Q = { ( x , y ) ∈ S ∣ ( x , y ) ∈ L c , c ∈ A , y ∈ Q } {displaystyle Q={(x,y)in Smid (x,y)in L_{c},;cin A,;yin mathbb {Q} }} I = { ( x , y ) ∈ S ∣ ( x , y ) ∈ L c , c ∈ B , y ∉ Q } . {displaystyle I={(x,y)in Smid (x,y)in L_{c},;cin B,;y otin mathbb {Q} }.}Обоснование
Покажем, что введённое множество связно.
Предположим, что это не так, то есть существуют множества Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} такие, что X = Y ∪ Z {displaystyle X=Ycup Z} и при этом Y ¯ ∩ Z = Y ∩ Z ¯ = ∅ {displaystyle {overline {Y}}cap Z=Ycap {overline {Z}}=emptyset } . Для определённости будем считать, что s ∈ Y {displaystyle sin Y} . Обозначим за u c {displaystyle u_{c}} точку из L c {displaystyle L_{c}} , ордината которой есть точная верхняя грань ординат всех точек, входящих в Z ∩ L c {displaystyle Zcap L_{c}} . Если же Z ∩ L c {displaystyle Zcap L_{c}} пусто, будем считать, что u c = c {displaystyle u_{c}=c} . Очевидно, что u c {displaystyle u_{c}} не может принадлежать X ∖ C {displaystyle Xsetminus C} , так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для Y {displaystyle Y} так и для Z {displaystyle Z} , что противоречит предположению несвязности. То есть, ∀ c ∈ C u c ∈ A ⊂ X {displaystyle forall cin Cquad u_{c}in Asubset X} или u c ∉ X {displaystyle u_{c} otin X} .
Пусть { r i } {displaystyle {r_{i}}} — все рациональные числа отрезка [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} , обозначим:
P i = { c ∈ B : ∃ u c = ( x , r i ) } , P = ∪ P i , T = { c ∈ B : c = u c } {displaystyle P_{i}={cin B:exists u_{c}=(x,r_{i})},quad P=cup P_{i},quad T={cin B:;c=u_{c}}}Тогда B = T ∪ P {displaystyle B=Tcup P} , то есть C = A ∪ T ∪ P {displaystyle C=Acup Tcup P} . Заметим, что P i {displaystyle P_{i}} нигде не плотны в C {displaystyle C} , иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с C {displaystyle C} лежало бы в P i {displaystyle P_{i}} , но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из A {displaystyle A} в то время как P i ⊂ B = C ∖ A {displaystyle P_{i}subset B=Csetminus A} .
Множество C {displaystyle C} является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество C {displaystyle C} также второй категории. Но P ∪ A {displaystyle Pcup A} первой категории ( A {displaystyle A} счётно, а P {displaystyle P} является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве C {displaystyle C} обязаны лежать точки из T {displaystyle T} , т. е. T {displaystyle T} плотно в C {displaystyle C} .
Теперь допустим, что z ∈ Z {displaystyle zin Z} . В силу плотности T {displaystyle T} в C {displaystyle C} , любое открытое множество, содержащее z {displaystyle z} , содержит также и некоторый сегмент отрезка L t {displaystyle L_{t}} для какого-то t ∈ T {displaystyle tin T} . По определению множества T {displaystyle T} имеем ( X ∩ L t ) ∖ { t } ⊂ Y {displaystyle (Xcap L_{t})setminus {t}subset Y} , это значит, что z ∈ Y ¯ {displaystyle zin {overline {Y}}} . Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества X {displaystyle X} ошибочно.
Осталось показать, что удаление точки s {displaystyle s} делает X {displaystyle X} вполне несвязным. Предположим, что V ⊂ X ∖ { s } {displaystyle Vsubset Xsetminus {s}} связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента L c {displaystyle L_{c}} (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество L c ∩ ( X ∖ { s } ) {displaystyle L_{c}cap (Xsetminus {s})} вполне несвязно, значит, и V {displaystyle V} вполне несвязно.