Инволютивная матрица
» » Инволютивная матрица

19.12.2020

Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица A {displaystyle A} , для которой выполнено A 2 = E {displaystyle A^{2}=E} .

Свойства

  • Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
  • n × n {displaystyle n imes n} -матрица A {displaystyle A} инволютивна тогда и только тогда, когда 1 2 ( A + E ) {displaystyle { frac {1}{2}}(A+E)} — идемпотентная матрица.
  • Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
  • Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
  • Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
  • Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьим.

Примеры

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Единичная матрица инволютивна.

Другие примеры инволютивных матриц:

( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}1&0&0&0&1&1&0end{pmatrix}}} (матрица, меняющая строку местами) ( + 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}+1&0&0&-1&0&0&-1end{pmatrix}}} (матрица знака).

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

A = ( a b ( 1 − a 2 ) b − a ) {displaystyle mathbf {A} ={egin{pmatrix}a&b{frac {(1-a^{2})}{b}}&-aend{pmatrix}}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: