Индуктивный предел
» » Индуктивный предел

18.12.2020

Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект X {displaystyle X} по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов X i {displaystyle X_{i}} и набору отображений f i j : X i → X j {displaystyle f_{ij}:X_{i} o X_{j}} , i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} . Для индуктивного предела обычно используется обозначение

X = lim → ⁡ X i {displaystyle X=varinjlim X_{i}} .

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть I {displaystyle I} — направленное множество с отношением предпорядка ⩽ {displaystyle leqslant } и пусть каждому элементу i ∈ I {displaystyle iin I} сопоставлен алгебраический объект X i {displaystyle X_{i}} , а каждой паре ( i , j ) {displaystyle (i,;j)} , i , j ∈ I {displaystyle i,;jin I} , в которой i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , сопоставлен гомоморфизм f i j : X i → X j {displaystyle f_{ij}:X_{i} o X_{j}} , причём f i i {displaystyle f_{ii}} — тождественные отображения для любого i ∈ I {displaystyle iin I} и f i k = f j k ∘ f i j {displaystyle f_{ik}=f_{jk}circ f_{ij}} для любых i ⩽ j ⩽ k {displaystyle ileqslant jleqslant k} из I {displaystyle I} . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей X i {displaystyle X_{i}} по отношению эквивалентности:

lim → ⁡ X i = ⨆ i X i / ∼ . {displaystyle varinjlim X_{i}=igsqcup _{i}X_{i}{igg /}sim .}

Здесь x i ∈ X i {displaystyle x_{i}in X_{i}} и x j ∈ X j {displaystyle x_{j}in X_{j}} эквивалентны, если существует такое k ∈ I {displaystyle kin I} , что f i k ( x i ) = f j k ( x j ) {displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})} . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть x i ∼ f i k ( x i ) {displaystyle x_{i}sim ,f_{ik}(x_{i})} .

Из этого определения легко получить канонические морфизмы ϕ i : X i → X {displaystyle phi _{i}:X_{i} ightarrow X} , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на X {displaystyle X} можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы ( X i , f i j ) {displaystyle (X_{i},f_{ij})} — это объект X {displaystyle X} категории, такой что выполняются следующие условия:

  • существует такое семейство отображений ϕ i : X i → X {displaystyle phi _{i}:X_{i} o X} , что ϕ i = ϕ j ∘ f i j {displaystyle phi _{i}=phi _{j}circ f_{ij}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} ;
  • для любого семейства отображений ψ i : X i → Y {displaystyle psi _{i}:X_{i} o Y} , в произвольное множества Y {displaystyle Y} , для которого выполнены равенства ψ i = ψ j ∘ f i j {displaystyle psi _{i}=psi _{j}circ f_{ij}} для любых i ⩽ j {displaystyle ileqslant j} , существует единственное отображение u : X → Y {displaystyle u:X o Y} , что ψ i = u ∘ ϕ i {displaystyle psi _{i}=ucirc phi _{i}} , для всех i ∈ I {displaystyle iin I} .
  • Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

    Примеры

    • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
    • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p∞).
    • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
    • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии соответствующему множеству-носителю.

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: