В алгебре теорема о рациональных корнях (также тест на рациональные корни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:
a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 0 = 0 {displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0}
с целыми коэффициентами a i {displaystyle a_{i}} и a 0 , a n ≠ 0 {displaystyle a_{0},a_{n} eq 0} .
Теорема утверждает, что каждый рациональный корень x = p / q {displaystyle x=p/q} , где p {displaystyle p} и q {displaystyle q} — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что
- p {displaystyle p} является делителем свободного члена a 0 {displaystyle a_{0}} ,
- q {displaystyle q} является делителем старшего коэффициента a n {displaystyle a_{n}} .
Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.
Применение
Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень x = r {displaystyle x=r} найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на x − r {displaystyle x-r} с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.
Кубическое уравнение
Кубическое уравнение в общем виде:
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.
Доказательство
Пусть:
P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 , a 0 , . . . a n ∈ Z {displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0},...a_{n}in Z} .
Предположим, что P ( p / q ) = 0 {displaystyle P(p/q)=0} для некоторых взаимно простых целых p {displaystyle p} и q {displaystyle q} :
P ( p q ) = a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + . . . + a 1 ( p q ) + a 0 = 0 {displaystyle Pleft({frac {p}{q}} ight)=a_{n}left({frac {p}{q}} ight)^{n}+a_{n-1}left({frac {p}{q}} ight)^{n-1}+...+a_{1}left({frac {p}{q}} ight)+a_{0}=0} .
Умножая обе части уравнения на q n {displaystyle q^{n}} , вынося p за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:
p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + . . . + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n {displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}} .
Видно, что p {displaystyle p} является делителем a 0 q n {displaystyle a_{0}q^{n}} . Но p {displaystyle p} и q {displaystyle q} -- взаимно простые числа, значит, p {displaystyle p} также должно быть делителем a 0 {displaystyle a_{0}} .
Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести q {displaystyle q} за скобки, получим:
q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + . . . + a 0 q n − 1 ) = − a n p n {displaystyle q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}} .
Сделаем вывод о делимости a n {displaystyle a_{n}} на q {displaystyle q} .
Примеры
Пример 1
Каждый рациональный корень многочлена
2 x 3 + x − 1 {displaystyle 2x^{3}+x-1}
должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются ± 1 2 {displaystyle pm {frac {1}{2}}} и ± 1 {displaystyle pm 1} . Однако ни один их них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.
Пример 2
Каждый рациональный корень многочлена
x 3 − 7 x + 6 {displaystyle x^{3}-7x+6}
должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 {displaystyle pm 1,pm 2,pm 3,pm 6} . Из них 1 {displaystyle 1} , 2 {displaystyle 2} и − 3 {displaystyle -3} обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.