16.12.2020

Правило Руффини — эффективная техника деления многочлена на бином вида x − r . {displaystyle x-r.} В 1804 году её описал Паоло Руффини. Правило Руффини — частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным.

Алгоритм

Правило устанавливает метод для деления многочлена

P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}

на бином

Q ( x ) = x − r {displaystyle Q(x)=x-r}

для получения частного

R ( x ) = b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + ⋯ + b 1 x + b 0 {displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+cdots +b_{1}x+b_{0}} ;

На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P(x) на Q(x).

Для того, чтобы поделить P(x) на Q(x) согласно данному алгоритму, нужно

  • Взять коэффициенты P(x) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией: a n a n − 1 … a 1 a 0 r {displaystyle {egin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}r&&&&&hline &&&&&&&&&&end{array}}}
  • Спустить крайний левый коэффициент (an) вниз, сразу под линию: a n a n − 1 … a 1 a 0 r a n = b n − 1 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}r&&&&&hline &a_{n}&&&&&=b_{n-1}&&&&end{array}}}
  • Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r a n = b n − 1 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}r&&b_{n-1}r&&&hline &a_{n}&&&&&=b_{n-1}&&&&end{array}}}
  • Сложить два значения, расположенные в одном столбце: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r a n a n − 1 + ( b n − 1 r ) = b n − 1 = b n − 2 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}r&&b_{n-1}r&&&hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&end{array}}}
  • Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа: a n a n − 1 … a 1 a 0 r b n − 1 r a n a n − 1 + ( b n − 1 r ) ⋯ a 1 + b 1 r a 0 + b 0 r = b n − 1 = b n − 2 ⋯ = b 0 = s {displaystyle {egin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&dots &a_{1}&a_{0}r&&b_{n-1}r&&&hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r&=b_{n-1}&=b_{n-2}&cdots &=b_{0}&=send{array}}}
  • Числа bi являются коэффициентами частного (R(x)), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток. Согласно теореме Безу, этот остаток равен P(r).

    Использование

    Деление на многочлен x - r

    Рабочий пример деления многочленов по алгоритму, описанному выше.

    Пусть:

    P ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 4 , {displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,} Q ( x ) = x + 1. {displaystyle Q(x)=x+1.}

    Мы хотим найти P ( x ) / Q ( x ) {displaystyle P(x)/Q(x)} используя правило Руффини. Основная проблема в том, что Q ( x ) {displaystyle Q(x)} это не бином вида x − r , {displaystyle x-r,} , а скорее x + r . {displaystyle x+r.} Мы должны переписать его так:

    Q ( x ) = x + 1 = x − ( − 1 ) . {displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).}

    Теперь применяем алгоритм:

    1. Выписываем коэффициенты и число r . {displaystyle r.} Заметим, что поскольку P ( x ) {displaystyle P(x)} не содержит коэффициента x 1 , {displaystyle x^{1},} мы записываем 0:

    2 3 0 − 4 − 1 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4-1&&&&hline &&&&&&&&end{array}}}

    2. Спускаем первый коэффициент:

    2 3 0 − 4 − 1 2 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4-1&&&&hline &2&&&end{array}}}

    3. Умножаем последнее полученное значение r : {displaystyle r:}

    2 3 0 − 4 − 1 − 2 2 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4-1&&-2&&hline &2&&&end{array}}}

    4. Складываем значения:

    2 3 0 − 4 − 1 − 2 2 1 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4-1&&-2&&hline &2&1&&end{array}}}

    5. Повторяем шаги 3 и 4:

    2 3 0 − 4 − 1 − 2 − 1 1 2 1 − 1 − 3 {displaystyle {egin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4-1&&-2&-1&1hline &2&1&-1&-3end{array}}} 2 , 1 , − 1 {displaystyle 2,1,-1} — коэффициенты частного, − 3 {displaystyle -3} — остаток.

    Итак, поскольку исходное число = делитель × частное + остаток, тогда

    P ( x ) = Q ( x ) R ( x ) + s {displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s} , где R ( x ) = 2 x 2 + x − 1 ,   s = − 3 ; ⇒ 2 x 3 + 3 x 2 − 4 = ( 2 x 2 + x − 1 ) ( x + 1 ) − 3. {displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1, s=-3;quad Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3.}

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: