Скрученный ромбоикосододекаэдр — один из многогранников Джонсона (J72, по Залгаллеру — М6+М14+М6=М6+М13+2М6).
Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 7 окружены пятью квадратными, остальные 5 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 20 окружены двумя пятиугольными и двумя треугольными, 5 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 15 окружены тремя квадратными, остальные 5 — пятиугольной и двумя квадратными.
Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 55 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 55 — между квадратной и треугольной.
У скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.
Скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём часть — любой пятискатный купол (J5), — и повернув его на 36° вокруг оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.
-
Ромбоикосододекаэдр
-
Скрученный ромбоикосододекаэдр
Метрические характеристики
Если скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины a {displaystyle a} , его площадь поверхности и объём выражаются как
S = ( 30 + 5 3 + 3 25 + 10 5 ) a 2 ≈ 59,305 9828 a 2 , {displaystyle S=left(30+5{sqrt {3}}+3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 59{,}3059828a^{2},} V = 1 3 ( 60 + 29 5 ) a 3 ≈ 41,615 3238 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{3}}left(60+29{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 41{,}6153238a^{3}.}Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
R = 1 2 11 + 4 5 a ≈ 2,232 9505 a ; {displaystyle R={frac {1}{2}}{sqrt {11+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}2329505a;}радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
ρ = 1 2 10 + 4 5 a ≈ 2,176 2509 a . {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {10+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}1762509a.}