Бесконечное множество
» » Бесконечное множество

15.12.2020

Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

  • Множество, в котором для любого натурального числа n {displaystyle n} найдётся конечное подмножество из n {displaystyle n} элементов.
  • Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
  • Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
  • Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются ℵ α , {displaystyle aleph _{alpha },} где индекс α {displaystyle alpha } пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют ℵ 1 , ℵ 2 , … ℵ ω , ℵ ω + 1 , … ℵ ω 1 , … ℵ ω ω 1 , … {displaystyle aleph _{1},aleph _{2},dots aleph _{omega },aleph _{omega +1},dots aleph _{omega _{1}},dots aleph _{omega _{omega _{1}}},dots }

Примеры

  • Множества натуральных чисел N , {displaystyle mathbb {N} ,} целых чисел Z , {displaystyle mathbb {Z} ,} рациональных чисел Q , {displaystyle mathbb {Q} ,} действительных чисел R , {displaystyle mathbb {R} ,} комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } — являются бесконечными множествами.
  • Множество функций N → N {displaystyle mathbb {N} o mathbb {N} } является бесконечным.
  • Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке [ 0 , 1 ] . {displaystyle [0,1].}
  • Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: