Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.
Пусть O n {displaystyle O_{n}} — ортогональная группа, a P L n {displaystyle PL_{n}} — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Включение O n → P L n {displaystyle O_{n} o PL_{n}} индуцирует расслоение B O n → B P L n {displaystyle BO_{n} o BPL_{n}} , где B G {displaystyle BG} — классифицирующее пространство группы G {displaystyle G} . При n → ∞ {displaystyle n o infty } получается расслоение p : B O n → B P L n {displaystyle p:BO_{n} o BPL_{n}} , слой которого обозначается через M / O {displaystyle M/O} .
Кусочно-линейное многообразие X {displaystyle X} обладает линейным стабильным нормальным расслоением ν {displaystyle
u } , классифицируемым отображением ν : X → B P L n {displaystyle
u :X o BPL_{n}} .
Если же X {displaystyle X} является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением ν ¯ {displaystyle {ar {
u }}} , классифицируемым отображением ν ¯ : X → B O n {displaystyle {ar {
u }}:X o BO_{n}} , причем p ∘ ν ¯ = ν {displaystyle pcirc {ar {
u }}=
u } . Это условие также и достаточно, то есть