» » Шершавое многообразие

14.12.2020

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Примеры

  • E8-многообразие
  • Возьмём 4 k {displaystyle 4k} -мерное многообразие Милнора W 4 k {displaystyle W^{4k}} , k > 1 {displaystyle k>1} ; W 4 k {displaystyle W^{4k}} параллелизуемо, его сигнатура равна 8 {displaystyle 8} , и его край M = ∂ W 4 k {displaystyle M=partial W^{4k}} гомотопически эквивалентен сфере S 4 k − 1 {displaystyle S^{4k-1}} . Подклейка к W 4 k {displaystyle W^{4k}} конуса C ( M ) {displaystyle C(M)} к ∂ W 4 k {displaystyle partial W^{4k}} приводит к пространству P 4 k {displaystyle P^{4k}} . При этом, так как M {displaystyle M} есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то C ( M ) {displaystyle C(M)} кусочно-линейный шар, так что P 4 k {displaystyle P^{4k}} — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, P 4 k {displaystyle P^{4k}} есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) 4 k {displaystyle 4k} -мерного многообразия кратна числу σ k {displaystyle sigma _{k}} , экспоненциально растущему с ростом k {displaystyle k} .
    • В частности, из этого следует, что многообразие M {displaystyle M} не диффеоморфно сфере S 4 k − 1 {displaystyle S^{4k-1}} .

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия

Пусть O n {displaystyle O_{n}} — ортогональная группа, a P L n {displaystyle PL_{n}} — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Включение O n → P L n {displaystyle O_{n} o PL_{n}} индуцирует расслоение B O n → B P L n {displaystyle BO_{n} o BPL_{n}} , где B G {displaystyle BG} — классифицирующее пространство группы G {displaystyle G} . При n → ∞ {displaystyle n o infty } получается расслоение p : B O n → B P L n {displaystyle p:BO_{n} o BPL_{n}} , слой которого обозначается через M / O {displaystyle M/O} .
Кусочно-линейное многообразие X {displaystyle X} обладает линейным стабильным нормальным расслоением ν {displaystyle u } , классифицируемым отображением ν : X → B P L n {displaystyle u :X o BPL_{n}} .
Если же X {displaystyle X} является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением ν ¯ {displaystyle {ar { u }}} , классифицируемым отображением ν ¯ : X → B O n {displaystyle {ar { u }}:X o BO_{n}} , причем p ∘ ν ¯ = ν {displaystyle pcirc {ar { u }}= u } . Это условие также и достаточно, то есть

  • Замкнутое кусочно-линейное многообразие X {displaystyle X} сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение ν : X → B P L n {displaystyle u :X o BPL_{n}} «поднимается» в B O n {displaystyle BO_{n}} (то есть существует такое ν ¯ : X → B O n {displaystyle {ar { u }}:X o BO_{n}} , что p ∘ ν ¯ = ν {displaystyle pcirc {ar { u }}= u } ).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: