Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль.
Машинный эпсилон (англ. Machine epsilon) — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок). Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.
Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.
В языках программирования
Язык Си
В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2−23 ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2−52 ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2−63 ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2−24 , 2−53 и 2−64 .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2−112 ≈ 1.93e-34 и 2−113 ≈ 9.63e-35.
Пример
Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си.
float macheps(void) { float e = 1.0f; while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f) e /= 2.0f; return e; }Пример на языке C++.
# include <iostream> # include <stdint.h> # include <iomanip> template<typename float_t, typename int_t> float_t machine_eps() { union { float_t f; int_t i; } one, one_plus, little, last_little; one.f = 1.0; little.f = 1.0; last_little.f = little.f; while(true) { one_plus.f = one.f; one_plus.f += little.f; if( one.i != one_plus.i ) { last_little.f = little.f; little.f /= 2.0; } else { return last_little.f; } } } int main() { std::cout << "machine epsilon: "; std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl; std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl; }Пример на Python
def machineEpsilon(func=float): machine_epsilon = func(1) while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1): machine_epsilon_last = machine_epsilon machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2) return machine_epsilon_lastВывод может быть таким (с использованием IPython):
In [1]: machineEpsilon(int) Out[1]: 1 In [2]: machineEpsilon(float) Out[2]: 2.2204460492503131e-16 In [3]: machineEpsilon(complex) Out[3]: (2.2204460492503131e-16+0j)