» » Решение внутренней задачи теплопередачи в печи
02.06.2015

Еще недавно теплофизика позволяла рассчитать время нагрева или охлаждения только для тел правильной формы (плиты и цилиндра бесконечной длины и шара). В последнее время стал возможен расчет в случае цилиндра и плиты заданной длины, а также применительно к полому цилиндру и к параллелепипеду. Вместе с тем можно подсчитать температурные напряжения, возникающие в характерных точках тел, т. е. подобрать режим, безопасный в смысле образования в металле трещин и других пороков. Все это, разумеется, повысило практическое значение метода.
Чтобы рассчитать время нагрева, найти температурные поля (т. е. решить задачу для нестационарного теплового состояния), а также рассчитать напряжения в металле, необходимо знать:
а) физические свойства тела; теплоемкость с, ккал/кг*°С; теплопроводность λ, ккал/м*час*°С; удельный вес γ, кг/м3; температуропроводность а=т/сγ, м2/час; линейный коэффициент расширения β, 1/°С, модуль упругости на растяжение и сжатие Е, кг/м2; пуассоново отношение v;
б) начальные условия, характеризующие распределение температур в теле в какой-либо заданный, например начальный момент;
в) поверхностные или граничные условия, показывающие изменение температуры на поверхности тела или взаимодействие поверхности тела с окружающей его средой; различают поверхностные условия первого рода, задающие распределение температур по поверхности тела как функцию координат и времени; поверхностные условия второго рода, задающие тепловой поток; поверхностные условия третьего рода, задающие температуру среды, окружающей тело, и закон теплообмена между телом и этой средой.
Решение задачи базируется на дифференциальном уравнении теплопроводности (уравнение Фурье), которое в самом общем случае, т. е. для трехмерного температурного поля имеет вид
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

При этом скорость нагрева в каждом конкретном случае увязывают с допустимыми величинами градиента температур в теле, т. е. в конечном счете с внутренними напряжениями, возникающими в теле при его нагреве или охлаждении.
Из общего уравнения (6) для различных случаев практики (т. е. для тел различной формы, для тех или иных начальных и граничных условий, для одно-, двух- или трехмерной задачи и т. д.) выводят частные решения. Чтобы облегчить использование этих решений, значения входящих в их состав сложных функций приведены в графическом виде.
В качестве иллюстрации покажем решение задачи о времени т', необходимом для того, чтобы плита бесконечной длины и ширины (в данном случае — слой медной шихты), имеющая толщину x0 = 0,175 ж, теплопроводность λ = 0,4 ккал/м*час*С и температуропроводность а = 0,00076 м2/час, нагревалась на поверхности до температуры плавления t''ш = 1150°. При этом температура печи tф постоянна и равна 1520°, коэффициент теплопередачи α = 107 ккал/м2*час*°С (т. е. заданы граничные условия третьего рода), а в начальный момент температура поверхности плиты t'ш = 0° *.
Отношение разностей температуры печи и поверхности плиты в конечный и начальный моменты
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Исходя из подсчитанных величин θ и Вi, по диаграмме (рис. 2), составленной Д.В. Будриным и Б.А. Красовским, находим (см. построение на диаграмме) значение критерия Фурье
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Эта же задача может быть решена и чисто графически на основе менее точного «метода конечных разностей», вытекающего в общем из того же уравнения (6) и описанного, в частности, в литературе. Этим способом можно также определить, как изменяются температуры во времени и по толщине данной плиты, ка« идет аккумулирование тепла в ней и т. д.
Аналогично решается задача для случая нагрева тел, имеющих форму цилиндра или шара.
Решение внутренней задачи теплопередачи становится значительно сложнее, если наряду с нагревом идет постепенное послойное плавление тела. Приближенное решение дано М.А. Глинковым в предположении, что а) форма тела в процессе плавления остается неизменной, б) расплавившаяся часть немедленно стекает с поверхности тела и в) тело имеет определенную температуру плавления (а не интервал). Использование этого метода покажем на примере определения времени т'', необходимого для расплавления слоя медной шихты, причем условия сохраняются те же, что и в примере на стр. 560. Добавочно укажем следующие свойства шихты: насыпной вес γш = 2200 кг/м3, скрытая теплота плавления qпл =80 ккал/кг, средняя теплоемкость с = 0,24 ккал/кг*°С.
Для решения задачи пользуемся значениями критериев
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

На номограмме (рис. 3) из точки пересечения кривых L = 52 и N = 3,45 (см. построение на номограмме) опускаем перпендикуляр на ось ординат и находим, что М = 1,20; следовательно,
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Приведенный расчет справедлив для теоретических условий, когда размеры тела не меняются в процессе его плавления. Так как к данному случаю это не относится и критерии N, а особенно Вi, имеют большие значения, то полученную величину т" надо умножить на поправочный коэффициент (рис. 4), который при N = 3,45 и Вi = 46 равен 2,4. Следовательно, т" = 0,936*2,4 = 2,24 час.
Полное время, требующееся для достижения поверхностью шихты температуры плавления и последующего полного расплавления слоя шихты
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

на 17% больше фактически наблюдавшегося времени плавления.
Этим же методом можно рассчитать время, необходимое для прогрева и расплавления кусков руды или агломерата, движущихся вниз по шахте печи; для этого нужно рассматривать куски как шары, а взамен номограммы (см. рис. 3) использовать другую, относящуюся к телам шарообразной формы.
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Описанные выше методы расчета времени нагрева изделий, базирующиеся на математической теории нестационарного теплового состояния, требуют наличия под рукой специальных диаграмм, подобных приведенным на рис. 2 и 3. Однако в том случае, когда нужно произвести примерный грубый расчет времени нагрева, можно пользоваться формулами, полученными из формул теплопередачи при стационарном тепловом состоянии, вводя в таковые средние значения переменных величин, таких как температура, количество тепла, проходящего через данное сечение, и т. д.
Так, время нагрева «тонких» изделий, т. е. таких, у которых скорость нагрева не лимитируется распространением тепла внутри изделия (см. выше), может быть определено по формуле
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Величину коэффициента теплоотдачи а для электропечей сопротивления берут из диаграммы (рис. 5).
Более точный результат в этом случае дает формула Б.В. Старка.
В случае «толстых» изделий в виде плиты
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи

Время, необходимое для повышения температуры жидкого металла, залитого в печь (например, рафинировочную), от t'ш до t''ш, определяют так же, как для плиты (см. выше), поскольку при нагреве сверху в жидком металле не возникает циркуляции за исключением периодов дразнения. Если металл покрыт слоем шлака, имеющего иные физические свойства (λ, с, γ, а), то прогрев можно рассчитать графически как для двухслойной плиты, например по «методу конечных разностей».
Существуют методы расчета времени нагрева неоднородных тел сложной конфигурации и слоистых тел (например, пачки листов), причем подвод тепла с разных сторон тела может быть несимметричным, а сами нагреваемые предметы, как уже указывалось, могут иметь форму параллелепипеда, сплошного или полого цилиндра конечной длины.
Решение внутренней задачи теплопередачи в печи