» » Возбуждение термоупругих волн напряжений
24.12.2014

Частичная прозрачность твердых тел для электромагнитного излучения приводит к поглощению энергии падающего излучения в пределах поверхностного слоя конечной толщины. Поглощающий слой эффективно представляет собой резко включающийся распределенный источник тепла. Источник вызывает переменное распределение температуры, которое приводит к появлению волн напряжений. Свойства этих волн и уровень возникающих напряжений представляют существенный интерес для практики. В работе исследуются волны напряжений в упругом полупространстве, на которое падает электромагнитный импульс.
Рассматривается импульс излучения, длительность которого мала по сравнению с временем пробега волны на расстояние, равное глубине проникновения излучения.
Короткий и мощный импульс электромагнитного излучения можно получить при помощи лазера с модулированной добротностью, который излучает прямоугольный импульс длительностью td порядка 10в-8 сек. Глубина проникновения излучения l, которая зависит от частоты излучения и свойств твердого тела, оценивается менее точно. Тем не менее можно принять, что значение l лежит в интервале 10в-2/1 см.
Для полной выделяющейся энергии Q (например, порядка 2 кал/см2) рост поверхностной температуры оказывается большим при меньших l. Однако здесь рассматриваются только l≥10в-1 см и максимальное повышение температуры не превышает примерно 40°С. Таким образом, не нужно учитывать ни абляцию, ни зависимость упругих модулей от температуры. Для скорости распространения волн с порядка 10в5 см/сек время пробега на глубину проникновения излучения tw имеет наименьшее значение порядка 10в-16 сек. Это соответствует принятому неравенству td≤tw.
Глубина проникновения излучения l задает единицу измерения длины, в том числе и длины возбудившихся волн. Если поперечные размеры пучка излучения больше l, то в одномерной задаче о волнах напряжений лучше пользоваться приближением одномерных перемещений (как в полупространстве), а не приближением одноосных напряжений (как в стержне). В настоящем параграфе рассматривается полупространство. Впрочем, оба случая аналогичны и переход от одного к другому осуществляете» соответствующей заменой упругих модулей.
Ранее принималось, что изменение потока излучения во времени задается ступенчатой функцией и, следовательно, после включения поток излучения сохраняет неизменную интенсивность. Принималось, что электромагнитное излучение экспоненциально затухает с глубиной. Было отмечено, что за то время, пока волна пробегает рассматриваемое малое расстояние, термомеханическая связь не оказывает существенного влияния на температурное поле. Можно также пренебречь переносом тепла.
В работе даны решения для полупространства со свободной границей и для слоя конечной толщины со свободными границами. Полученные решения формально распространены на случай импульсного излучения. Однако характерные особенности действия короткого импульса не рассмотрены.
Работа содержит в основном решение несвязанной задачи теплопроводности, причем тоже предполагается экспоненциальный ход затухания излучения с глубиной. Ho в отличие от других работ в ней учитывается поверхностная абляция. После упомянутых упрощений во временных параметрах получено формальное решение для распределения напряжений. Однако форма волн и их свойства не изучены.
В работе рассмотрен другой возможный закон поглощения излучения и определено температурное поле. Ho волны напряжений в случае свободной поверхности рассмотрены только при экспоненциальном поглощении излучения и при использовании выражения для температурного поля, пригодного лишь во время действия импульса, т. е. до t=td.
В работе принимается, что из слоя, в котором поглощается излучение, выходит волна сжатия. На самом деле, как будет показано ниже, из слоя выходит волна с растягивающими напряжениями за фронтом, причем наибольшие напряжения возникают на глубинах порядка l, т. е. близко от поверхности, подвергнутой облучению.
Для выяснения самых существенных свойств волн напряжений были использованы все возможные упрощения, связанные с длительностью термических процессов. Во-первых, поскольку длительность падающего импульса электромагнитного излучения td мала по сравнению с временем пробега волны через слой, в котором поглощается излучение, принимается, что td можно устремить к нулю, сохраняя постоянным полное количество выделившегося тепла Q. При этом начальное нарастание сжимающих напряжений превращается в мгновенное и поэтому прямо от свободной поверхности внутрь тела распространяется скачок напряжений. Во-вторых, время распространения тепла значительно больше, чем время пробега волн. Поэтому можно считать, что температура остается неизменной и в течение времени, пока волна пробегает расстояние, во много раз превосходящее l, сохраняет распределение, заданное поглощенной электромагнитной энергией. Использование распределения температур, не зависящего от времени, приводит к простому решению задачи о волнах напряжений.
Стационарное распределение температур используется также и в работах, рассматривающих аналогичную задачу для вязко-упругого полупространства с определяющими уравнениями для термореологически простого материала. В этой задаче важная новая особенность состоит в учете температурной зависимости параметров ползучести, которая существенна для многих вязко-упругих материалов. Приближение, использующее стационарное распределение температуры, приводит к заметным математическим упрощениям.
В принятых предположениях стационарное распределение температуры характеризуется максимальным значением температуры на поверхности. Максимум температуры пропорционален выделившейся энергии Q и обратно пропорционален глубине проникновения l. Принимая для Q значение, характерное для излучения лазера, и используя типичные термические параметры металлов и неметаллических твердых тел, можно получить, что рост температуры на поверхности составляет 40°С при l=10в-1 см. Максимум сжимающих напряжений достигается перед скачком напряжений, который в рассматриваемом предельном случае мгновенно возникает на поверхности.
Величина максимума сжимающих напряжений пропорциональна повышению температуры на поверхности, коэффициенту теплопроводности и модулю всестороннего сжатия материала. При нарастании температуры на 40°С максимум сжимающих напряжений имеет порядок 2,6*10в9 дин/см2 в стали и 2,4*10в8 дин/см2 в типичном твердом ракетном топливе.
Простое волновое решение показывает, что от поверхности распространяется скачок напряжений, на котором происходит разгрузка материала. После распространения на расстояние, лишь несколько превышающее глубину проникновения l, скачок напряжений приобретает окончательный вид. Напряжения на фронте скачком переходят от сжимающих, величина которых равна половине максимальных сжимающих напряжений на поверхности, к растягивающим напряжениям такой же величины. В результате на расстояниях, больших 2l, формируется волна растяжения с указанным максимальным значением. Температура в этой области по существу совпадает с постоянной первоначальной температурой. Поэтому задачу об отражении волны от задней поверхности тела следует рассматривать как изотермическую задачу о падающей волне растяжения.
Поле температур. Предполагается, что полупространство занимает область х≥0, где х — декартова координата, отсчитываемая от поверхности. До момента t=0 полупространство обладает постоянной температурой T=0. В момент t=0 на поверхность х=0 падает равномерно распределенный поток излучения. Принимается, что постоянный поток энергии на единицу поверхности q поддерживается в продолжение времени действия импульса td. Поглощение энергии происходит в слое толщиной l. Предполагается, что количество поглощенной энергии экспоненциально убывает с глубиной. Это приводит к появлению эффективных источников тепла с распределением скорости выделения тепла на единицу объема:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

где H (t) — ступенчатая функция Хевисайда.
Поле температур удовлетворяет уравнению теплопроводности без учета связи с полем деформаций:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

где k — коэффициент температуропроводности, а λ — коэффициент теплопроводности. Начальные и граничные условия задаются в виде
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Последнее условие выражает, что за время распространения волны на расстояние l можно пренебречь теплообменом на поверхности х=0. В течение времени действия импульса излучения в поглощающем слое быстро растет температура, а затем при t≥ta происходит более медленный процесс переноса тепла. Мерой времени переноса тепла служит величина t2lk. При t≥10в-1 см эта величина заметно больше пробега волн tw=l/c, скорости волн составляют 10в5 см/сек и k≤1 см2/сек. Таким образом, для представляющего интерес интервала времени, т. е. времени пробега волн на расстояние порядка l, выполняется условие
Возбуждение термоупругих волн напряжений

и величиной kt/l2 можно пренебречь по сравнению с единицей.
Точное решение (8.46) для распределения источников (1—kt/l2]p*(t, х), как отмечается, имеет простой вид:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Согласно условию (8.48), полученное распределение температур пригодно и для источников р*(х, t). Начальное условие и условие на бесконечности удовлетворяется сразу. Для потока тепла через поверхность получается
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Как следует из (8.48), величина теплового потока мала по сравнению с потоком энергии q=p0l. Таким образом, и последнее условие (8.47) можно считать выполненным. Итак, искомое решение (8.45), (8.47) представляет собой:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Наконец, при переходе к мгновенному импульсу излучения полное выделение энергии Q = qtd сохраняет фиксированное значение при td, устремляемом к нулю. Из (8.51) получается следующее распределение температуры:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Это простое экспоненциальное (стационарное) убывание температуры с глубиной при характерной длине l и максимальной температуре Тм на поверхности. Для ряда металлов и неметаллических твердых тел отношение k/λ, равно примерно 2 в единицах СГС. Величина k/λ=2 при Q = 2 кал/см2 и l=в10-1 см дает температуру поверхности Тм = 40°С. Рост температуры пропорционален Q и 1/l. Для оценки интенсивности возбуждения волн напряжений будет использоваться значение температуры 40°С.
Волны напряжений. Пусть σ — главное напряжение, ε — главная деформация (обе величины считаются положительными при растяжении) и и — перемещение частиц в направлении оси х. Тогда для малых деформаций и перемещений имеем
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Одномерное уравнение движения имеет вид
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Здесь х означает положение частицы в недеформированном состоянии, а ρ представляет собой плотность в недеформированном состоянии. Величина р считается постоянной по всему телу. Из закона термоупругой связи напряжений и деформаций для случая одномерных перемещений следует
Возбуждение термоупругих волн напряжений

где K и G — соответственно модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига, α — коэффициент линейного температурного расширения. Считается, что в невозмущенном состоянии T=0. Поперечное напряжение σL, дается формулой
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Дифференцируя (8.55) по х и исключая ε при помощи (8.54) и (8.56), получим волновое уравнение для напряжений:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

где скорость распространения продольных волн задается формулой
Возбуждение термоупругих волн напряжений

В настоящем параграфе используются адиабатические модули и адиабатическая скорость волн, так как переносом тепла можно пренебречь; впрочем, решения для адиабатического и изотермического случаев различаются несущественно. По известному решению уравнения (8.58), т. е. по известному напряжению, при помощи (8.56) и (8.54) можно найти деформации и перемещения, а с помощью (8.57) — поперечное напряжение. Температура Т(х, t) предварительно определяется из отдельного уравнения теплопроводности.
Предполагается, что перемещения и напряжения в полупространстве равны нулю при t≤0, откуда следуют начальные условия при t=-0 (непосредственно перед падением импульса):
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Здесь рассматривается лишь случай, когда поверхность остается свободной от напряжений и волн, приходящих из бесконечности. Подобным образом можно было бы рассмотреть задачу при других граничных условиях. Итак,
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Возбуждение термоупругих волн напряжений

Из выражения (8.57) для поля температур видно, что до предельного перехода td→0 величина дТ/дх во время действия импульса остается ограниченной. Отсюда, согласно (8.56) и поставленному условию для деформаций, следует, что и величина дσ/дх тоже ограничена. После интегрирования (8.55) по длительности импульса и перехода td→0 получается, что скорость частиц среды и дε/дх непрерывны при t=0. Следовательно, по (8.60) обе эти величины в начальный момент времени равны нулю. Скорость изменения напряжений получается из (8.56). Окончательно:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Первое условие нужно в том случае, когда используется уравнение движения в перемещениях.
Из сравнений (8.60) и (8.62) видно, что при t=0 сжимающие напряжения возрастают скачком. Получающийся скачок представляет собой импульсный предел постепенного нарастания напряжений, которое наблюдается во время действия импульса излучения конечной длительности td. В предельном случае на свободной поверхности образуется скачок напряжений, который заменяет плавный профиль, растянутый по слою толщиной ctd. В дальнейшем будет показано, что разрыв напряжений сразу после своего возникновения распространяется внутрь среды.
Удобно ввести безразмерные пространственную и временную координаты ξ, η и напряжение θ:
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Новыми единицами служат глубина проникновения излучения, время пробега волны на эту глубину и максимальное начальное напряжение, которое достигается на поверхности. Тогда решение волнового уравнений (8.58) при начальных условиях (8.62), (8.63) и граничных условиях (8.61) и при поле температур (8.52) легко находится в виде
Возбуждение термоупругих волн напряжений

Член с H (η—ξ) описывает волновой фронт. В первом слагаемом член с аргументом ξ+η соответствует волне, бегущей к поверхности. Эта волна возникает от начального распределения напряжений. В более сжатой форме выражение (8.65) можно переписать в виде
Возбуждение термоупругих волн напряжений

В работе приведены профили напряжений в интервале 0≤ξ≤5 для нескольких значений η, лежащих в пределах 0≤η≤4. Решение при ξ ≥η, т. е. перед фронтом волны, не зависит от условия, поставленного на поверхности ξ=0.
Легко проверить, что этот профиль сохраняется при всех η. При убывании ξ сжимающие напряжения возрастают от нуля на бесконечности до наибольшего значения перед фронтом волны; на фронте напряжение скачком переходит к максимальному растягивающему напряжению; затем растягивающее напряжение убывает до нуля на граничной поверхности. В фиксированной точке ξ с ростом η от нуля до ξ сжимающее напряжение возрастает; при η=ξ проходит разрывной фронт, за которым напряжения становятся растягивающими; затем растягивающие напряжения убывают до нуля.
Ввиду того что время переноса тепла достаточно велико, полученное решение обычно пригодно вплоть до η=10в2. Скачок напряжений на фронте имеет постоянную величину. В безразмерных напряжениях величина скачка равна единице, что соответствует реальным напряжением 3αТнК. В каждый момент времени наибольшее значение растягивающего напряжения достигается сразу за фронтом волны и выражается формулой
Возбуждение термоупругих волн напряжений

показывающей рост растягивающих напряжений по мере распространения фронта. При ξ→∞ предельное значение θ=0,5. При ξ=2, после того как пройдено расстояние 2l, величина θ=0,49.
Глубже поглощающего слоя при ξ≥4 температура практически все время равна нулю и распространение волн определяется изотермическим уравнением. Дальнейшее распространение описывается членами из (8.65) с аргументом ξ—η без учета члена, экспоненциально возрастающего с ξ+η. Если на некотором расстоянии ξ≥4 имеется задняя поверхность тела, то отражение от нее описывается обычно изотермической теорией. В частности, если задняя поверхность свободна от напряжений, то отраженная волна имеет противоположный знак. Поэтому в отраженной волне растяжение скачком сменяется сжатием.
Предельное значение максимальных напряжений на фронте остается прежним Θ=±0,5. Ho в процессе отражения в момент, когда фронт достигает задней поверхности, максимальное растягивающее напряжение принимает значение Θ=1. Поперечное напряжение σL получается из (8.57) после постановки T=0. Знак σL такой же, как и у σ; коэффициент пропорциональности зависит от отношения G/К. Типичные значения σL/σ лежат в пределах 0,4/0,5.