» » Статистические закономерности образования трещин
24.12.2014

Можно предположить две противоположные причины дискретности разрушения под действием непрерывного светового потока: 1) дискретность прочностных свойств полимера и 2) дискретность напряжений, генерируемых световым потоком. Если имеет место первая причина, то изучение статистических закономерностей разрушения дает возможность определения статистики микропрочности материала по отношению к кратковременным нагрузкам. В противоположном случае дискретность связана с неоднородностью взаимодействия света с веществом и вытекающими отсюда локальными напряжениями, вызывающими разрушение.
В частном случае концепции разрушения под действием гиперзвука это означает резкую неоднородность гиперзвуковой волны или из-за флюктуаций начальной плотности фононов или из-за неоднородности взаимодействия света с веществом.
В работе показано, что в полиметилметакрилате под действием лазерного импульса наблюдается явление своеобразной «оптической усталости». Разрушение, вызываемое действием одного достаточно мощного импульса, может быть получено также и под действием нескольких импульсов, причем после действия первых импульсов видимые разрушения отсутствуют, затем появляется микроскопическая трещина, различимая под микроскопом, размеры которой потом начинают расти примерно пропорционально подводимой лучистой энергии.
Объяснение этого эффекта заключалось в том, что разорванные связи в ПММА практически не восстанавливаются и с каждым импульсом (мощность которого больше некоторой критической) число таких микроскопических нарушений растет, они объединяются, образуя зародыш трещины. Эта трещина медленно подрастает до некоторых критических размеров, при которых она начинает интенсивно поглощать падающую энергию и расти достаточно быстро — со скоростью 0,1/0,3 от скорости звука. На этих фактах и основывается расчетная модель, принимаемая в работе.
Пусть E — энергия светового луча, которая должна пройти через квадратный сантиметр поверхности с координатой х, отсчитанной от точки фокуса, чтобы в этом месте образовалась быстрорастущая трещина, и v — скорость роста такой трещины (порядка 0,1/0,3 от скорости звука). Тогда через время после начала лазерного импульса радиус трещины l будет равен:
Статистические закономерности образования трещин

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких трещин, размеры которых меньше или порядка размеров лазерного пучка и на скорость распространения которых не влияет уменьшение поглощения энергии на единицу площади, т. е. будем считать v = const; подавляющее большинство трещин удовлетворяют этому условию.
Кроме того, для упрощения вычислений будем считать, что интенсивность лазерного излучения постоянна по сечению и времени, тогда I (х) = I0 (где I0 — интенсивность лазерного луча до фокусировки, n — коэффициент преломления ПММА, f — фокусное расстояние линзы); вероятность образования трещины одинакова для всех точек данного сечения.
Реально интенсивность лазерного луча несколько выше в центре, и опыт показывает, что большинство трещин, особенно крупных, рождается именно там, однако можно надеяться, что для достаточно больших трещин, способных эффективно перекрывать лазерный луч, точка рождения не очень существенна. При этих предположениях формула (8.2) принимает вид
Статистические закономерности образования трещин

θ-функция введена для формального обрезания отрицательных l.
Опыт показывает, что образовавшаяся трещина почти совсем не пропускает света (это видно, например, по осциллограммам пропускания). Следовательно, разрушения в плоскости в координатной х1, начавшееся в момент времени t(E), развивается не во все остальное время действия лазерного луча, а лишь до того момента времени t1, когда трещины, образовавшиеся в плоскостях х>х1, не заэкранируют данную. Если трещина с радиусом l расположена в сечении, отстоящем от фокуса на расстоянии х, то она экранирует долю лазерпого излучения
Статистические закономерности образования трещин

Так как
Статистические закономерности образования трещин

где R0 — радиус несфокусированного лазерного луча, то
Статистические закономерности образования трещин

Чем больше площадь трещин в сечениях с х≥х1, тем меньшая доля лазерного излучения достигает данного сечения и, следовательно, тем меньше вероятность роста данной трещины. Будем -считать, что рост данной трещины происходит совершенно независимо от других до тех пор, пока относительное перекрытие лазерного луча за счет всех других трещин меньше единицы и полностью прекращается при относительном перекрытии, равном единице.
Разумеется, каждая вновь образующаяся трещина может перекрыть часть лазерного излучения, попадающего на данную трещину, однако когда относительное перекрытие меньше единицы, всегда есть направление, в котором трещина может расти, поглощая свет неизменной интенсивности. Действительно, на опыте соседние трещины всегда располагаются так, что они почти не перекрывают друг друга.
Пусть р(х, Е) — вероятность образования зародыша быстрорастущей трещины в сечении с координатой х, если через него уже прошел световой поток с энергией E на единицу площади. Так как вероятность образования трещины в любой точке тела одинакова, то р(х, Е) должно расти, как х2, с ростом величины сечения, т. е.
Статистические закономерности образования трещин

тогда время t1 окончания процесса разрушения в данном сечении определяется уравнением
Статистические закономерности образования трещин

где Emin — минимальная энергия, необходимая для появления макроскопического разрушения, а верхние пределы интегрирования Еmax и xmax определяются θ-функцией.
Предположим, что функция p1(E) имеет вид р0Em, и будем считать т параметром, подлежащим определению из сравнения с экспериментом. Тогда, подставив р в (8.3), получим
Статистические закономерности образования трещин

есть численный коэффициент, так как легко убедиться из нормировки р, что р0(fn)2=const не зависит от фокусного расстояния линзы.
Решение (8.7), разумеется, справедливо только при t1≤t0. где t0 — время действия лазерного импульса, т. е. при
Статистические закономерности образования трещин

Следовательно, вся область разрушения h разбивается на два участка: первый, где х≤х0 и время развития разрушения определяется взаимной экранировкой; и второй, где х≥х0 и разрушение продолжается в течение всего импульса. Поскольку в интеграле по E нижний предел интегрирования для т≥—1 играет роль только при Emax~Emin, т. е. в конце области разрушения, то по формуле (8.7) пренебрегается членами, содержащими Emin.
Относительные размеры участков, подчиняющихся различным статистическим закономерностям, как это видно из (8.8), зависят от энергии в импульсе и фокусного расстояния линзы. Действительно,
Статистические закономерности образования трещин

и относительные размеры первой области, в которой основную роль играет взаимное перекрытие трещин, возрастают с увеличением энергии в импульсе и фокусного расстояния линзы.
Пользуясь полученными выражениями, легко найти среднюю плотность трещин N(x), средние расстояния между ними L(x) и средние размеры трещин . Для первой области
Статистические закономерности образования трещин

определяется временем взаимного перекрытия, а Emin положено равным нулю. В формуле (8.12) предположено, что энергия и фокусное расстояние линзы настолько велики, что первая область занимает почти всю зону разрушения и второй областью можно пренебречь при вычислении средних расстояний между трещинами. Вместо размера области разрушения h подставлено
Статистические закономерности образования трещин

Все остальные необходимые величины также вычисляются без труда согласно обычным формулам статистики.
Проведем сравнение с экспериментом. Точное количественное сравнение теории с экспериментом в настоящее время еще невозможно по следующим причинам:
а) Грубость предположений теории. Самым грубым является, по нашему мнению, предположение об однородности светового луча, которое должно особенно сильно сказываться вблизи фокуса, где даже небольшие трещины могут сильно экранировать пучок, и поэтому необходимо учитывать зависимость вероятности образования трещин от расстояния до оси, а также предположение о постоянстве интенсивности излучения лазера, которое приводит к некоторым изменениям закономерностей в хвосте зоны разрушения, когда интенсивность света уже много меньше средней.
б) Большие флуктуации искомых величин, что при относительно небольшом количестве проведенных нами экспериментов приводит к большому статистическому разбросу и не позволяет достаточно хорошо определить все параметры, содержащиеся в формулах: р0, v, m и Emin.
в) Эксперименты проводились раньше, чем были выяснены: приведенные выше закономерности, а поэтому большая часть измерений проводилась усреднением по всей зоне разрушения без разбиения ее на две зоны различными статистическими закономерностями.
Наиболее важным параметром, подлежащим определению, является показатель степени в функции распределения вероятности образования зародыша разрушению m, поэтому качественное сравнение с экспериментом начнем с графика N (х) — плотности числа трещин, полученного при большом (360 мм) фокусном расстоянии линзы и больших (в несколько раз больше порога разрушения) энергиях. При этом основная часть зоны разрушения, согласно формуле (8.8), должна представлять собой первую область, так как именно для этого случая зависимость от m наиболее сильная: N1(х)-x(1-3m/3+m).
Из графика, видно, что плотность числа трещин растет с увеличением х, откуда следует очень важный вывод, что m≤1/3. На экспериментальные точки наложены две теоретические кривые, построенные по методу совпадения одной точки (N1(x0)) для двух значений m=0, m=-1/3.
Видно, что уже незначительное изменение m приводит к большому смещению кривой. Исследование такого же типа графиков показывает, что т может меняться в очень узких пределах, примерно от -1/2 до 1/6. Этот же вывод подтверждается исследованием разрушения па короткофокусных линзах, где плотность трещин и их размеры примерно не меняются во всей зоне разрушения, что возможно при m, близком к нулю (см. формулы (8.13), (8.14)).
Так как во всех остальных формулах зависимость от т более слабая, то мы при сравнении с экспериментом в дальнейшем будем полагать для простоты m=0.
Из формул (8.10) и (8.13) видно, что при m=0 N(х) является максимальной плотностью трещин, откуда можно найти x0 и разделить, таким образом, области разрушения, подчиняющиеся различным статистическим закономерностям. Согласно (8.8) x0—1=E/t0, т. е. максимум разрушения должен линейно зависеть от энергии в импульсе.
В работе приведены также зависимости среднего расстояния между трещинами L, среднего размера трещин как функций от энергии в импульсе и среднего расстояния между трещинами L как функции от фокусного расстояния. Зависимость L(E) как для первой, так и для второй области имеет вид L-1/E5/6. Для первой области средний размер трещины l зависит от Е, как E2/3, а для второй — пропорционален Е.
Получено, что в области малых энергий от этой зависимости есть отклонения, l растет примерно пропорционально Е. Среднее расстояние между трещинами L пропорционально фокусному расстоянию линзы в степени 1/3 (см. формулу (8,12) для больших f, когда существенно взаимное перекрытие трещин) не зависит от f при малых f. При малых f L действительно не зависит от f, а при больших f L начинает расти. Такого же порядка качественное согласие теории и эксперимента имеется и для всех остальных зависимостей, полученных на опыте.
Наиболее важный из полученных результатов — равенство нулю показателя степени m функции распределения p=p0x2Em вероятности образования зародыша разрушения. Это означает, что вероятность образования трещины в любом месте растет примерно пропорционально потоку энергии E лазерного луча.
Как известно, процесс генерации гиперзвука за счет вынужденных процессов Мандельштама — Бриллюэна обладает порогом. При повышении этого порога интенсивность звуковой волны нарастает экспоненциально. Следовательно, если бы дискретность разрушения была связана с флуктуациями порогов генерации гиперзвука в различных точках образца, то интенсивность звуковой волны сильно (в линейном приближении вблизи порогов — экспоненциально) менялась бы от точки к точке и от интенсивности лазерного луча.
Другие механизмы взаимодействия света и вещества, например, многофотонные процессы, также должны сильно зависеть от интенсивности света. Следовательно, если бы дискретность разрушения была связана с дискретностью взаимодействия света с веществом, р должно было бы сильно зависеть от Е.
Указанная трудность, разумеется, остается и в том случае, когда дискретность разрушения объясняется дискретностью прочностных свойств. Вероятность флуктуации локальной прочности в данном месте тем выше, чем больше эта флуктуация. Если плотность упругой энергии прямо пропорциональна энергии светового луча, то из m=0 следует, что вероятность флуктуаций прочности уменьшается с E очень медленно, линейно для Е≥Еmin или вероятность релаксации упругих напряжений о очень быстро растет с их величиной, т. е. если уравнение для внутренних напряжений имеет вид
Статистические закономерности образования трещин

то в нем b≥а.
В частном случае разрушения под действием гиперзвука приходится предполагать, что релаксация гиперзвука очень сильно зависит от его интенсивности.
Последнее предположение кажется нам маловероятным, тем более, что оно требует для точного совпадения теории и эксперимента жесткой связи между а и b. Таким образом, наиболее непротиворечиво наблюдающиеся закономерности на наш взгляд объясняются при предположении, что существующие флуктуации локальной оптической прочности очень медленно уменьшаются с увеличением потока энергии лазерного луча Е. В этом случае местами с пониженной прочностью могли бы быть просто макроскопические неоднородности или посторонние включения.
Однако, как уже говорилось выше, для слабой зависимости ρ от E требуется, чтобы свет взаимодействия почти одинаково со всеми этими неоднородностями, т. е. чтобы они были примерно одинаковы по структуре. Тогда слабая зависимость вероятности образования трещины в данном месте от Е(∫p(E)dE) отвечала бы малости разброса этих неоднородностей по их размерам. Этот вывод не должен зависеть от предположения о виде функции распределения, так как оказывается, что ρ почти не зависит от Е.
Расчеты проведены в предположении, что разрушение начинается в данном сечении, когда через него пройдет определенная световая энергия. Все выводы сохраняются, если для начала разрушения существенна интенсивность луча, а не его энергия. В этом случае разрушения будут происходить на переднем фронте лазерного импульса, интенсивность которого можно аппроксимировать выражением I=xt, что совершенно аналогично принятому в работе предположению об энергии луча E=I0t.
Таким образом, наблюдаемые статистические закономерности разрушения удается объяснить при помощи довольно простых физических предположений о флуктуации локальной прочности, взаимной экранировке трещин и независимости разрушения в каждой точке.