» » Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока
24.12.2014

Рассмотрим стержень твердотельного ОКГ, имеющий цилиндрическую форму, при условии, что известны активные добавки (например, для рубина, основой которого служит Al2O3, такими активными примесями служат атомы хрома). Далее, считаем известным спектральный состав лампы накачки, распределение в такой лампе по спектру, коэффициент поглощения k материала ОКГ в зависимости от длины волны. Предполагаются также известными те длины волн, которые идут на оптическую накачку (например, в рубине хром поглощает избирательным образом лучи, длина волны которых лежит в окрестности λ1 = 4800 А и λ2 = 5800 А). Энергия этих лучей фактически идет на образование мощного светового пучка. Остальная часть энергии идет на нагрев стержня твердотельного ОКГ.
Представлялось целесообразным: 1) выделить энергию лампы накачки, идущую на образование мощного светового пучка; 2) определить нагрев стержня ОКГ вследствие воздействия на него лампы накачки с заданным спектром; 3) определить величину возникающих при этом термоупругих напряжений.
Если энергия, идущая на оптическую накачку, соответствует длинам волн падающего излучения.
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

где εj (j = 1, 2, 3, 4) — некоторые постоянные величины, то нетрудно выделить энергию, идущую на образование светового пучка, и энергию, идущую на нагрев стержня, что и будет сделано ниже. Предлагаемая ниже схема лишь приближенно отражает реальную картину.
1. Отыскание температурного поля и температурных напряжений, порождаемых в цилиндрах при изотропном облучении монохроматическим потоком лучистой энергии. Рассмотрим длинный сплошной цилиндр радиуса R, боковая поверхность которого равномерно облучается монохроматическим световым потоком. Принимаем, что поглощение происходит по закону Бугера. Если считать, что теплообмен между поверхностью цилиндра и окружающей средой происходит одинаково по всей поверхности, то температура будет зависеть только от радиуса и времени. Обозначая интенсивность светового потока на поверхности цилиндра через A0, произведение A0R — через A1, для определения температуры получим дифференциальное уравнение (7.4), которое в цилиндрических координатах имеет вид
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

где а — коэффициент температуропроводности материала.
Считаем, что в начальный момент цилиндр имеет температуру, равную нулю:
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

Считаем, что цилиндр испытывает теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру, по закону:
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

где h — заданный коэффициент относительной теплоотдачи.
Предельное условие T (r, t) остается конечной величиной, т. е.
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

Представляя правую часть уравнения (7.4) в виде ряда по функции Бесселя и используя метод разделения переменных и условия (7.5)—(7.7), получим решение уравнения теплопроводности в виде
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

где μi — положительные корни характеристического уравнения:
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

Определим теперь компоненту тензора напряжений σrr. Поскольку время облучения (время нагрева) стержня велико, термоупругую задачу можно решать в рамках статистической теории. Используя известное решение упругой задачи для сплошного цилиндра, найдем
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

По оси цилиндра σrr принимает максимальное значение, равное
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

2. Температурные поля и напряжения, порождаемые в бесконечном стержне в предположении, что он изотропно облучается
полихроматическим потоком лучистой энергии.
Пусть на цилиндр падает световой поток, состоящий из лучей, длины волн которых изменяются непрерывно в пределах от λ1 до λ2, коэффициент поглощения k = k(λ) и энергия по спектру A0=A0(λ) являются заданными функциями длины волны. Предполагаем, что часть лучистой энергии с длинами волн
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

идет на накачку, а остальная — на нагрев.
В силу линейности температурной и термоупругой задач получим, что температура стержня:
Температурные напряжения, возникающие в цилиндрах под действием светового потока

где T(λ) определяется формулой (7.8).
Аналогичная формула будет иметь место и для компоненты тензора напряжений σrr. Недостатком полученного решения является предположение, что все лучи поглощаются на оси цилиндра, в то время как при наличии зеркала они многократно проходят через стержень, давая минимум в центре.
Учесть это обстоятельство возможно по крайней мере двумя способами: 1) введением зависимости коэффициента поглощения λ от r, т. е. считая k = k(r, λ); 2) учетом многократности прохождения луча через стержень при заданном коэффициенте поглощения k = k(λ).
Однако для того, чтобы реализовать первый путь, необходимо из эксперимента определить функцию k(r, λ). Второй путь значительно усложняет задачу и в итоге приведет лишь к изменению особенности на оси цилиндра, т. е. при r = 0.