» » Возникновение упруго-пластических волн
24.12.2014

Рассмотрим волны напряжений, возникающие в твердом теле в результате поглощения электромагнитного излучения в тонком поверхностном слое. Процесс практически мгновенного поглощения энергии приводит к неравномерному росту температуры в поглощающем слое, что в свою очередь ведет к генерации волн напряжений. Достигаемый при этом уровень напряжений зависит от роста температуры, определяемого при прочих равных условиях величиной поглощения энергии и глубиной поглощающего слоя вещества. При этом, если время действия импульса излучения мало по сравнению со временем прохождения волны напряжений через поглощающий слой, и тем более со временем прохождения термодиффузии, в слое происходит практически мгновенный неоднородный рост температуры и ситуацию можно считать неизменной, во всяком случае для интервала, необходимого для прохождения волной напряжения пути, в несколько раз превышающего глубину поглощения излучения.
Выше для демонстрации возникающих явлений проведен анализ процесса с помощью линейной термоупругости, получена простая волновая картина и показано, что если облучаемая поверхность свободна от напряжений, то на глубине, соответствующей удвоенной глубине поглощения, формируется растягивающая волна напряжения. Аналогичные решения можно получить для термовязкого и термоупругого материалов, свойства которых зависят от температуры, причем наличие постоянного температурного поля существенно упрощает решение. В настоящем разделе будет рассмотрен упруго-пластический материал.
Масштабы времени при упругом и вязкоупругом методах анализа были основаны на времени облучения 10в-8 сек, при этом время прохождения волны через слой превышает 10в-6 сек при типичной скорости волн порядка 10в5 см/сек и глубина поглощающего слоя составляет 10в-1 см. Импульсный характер деформации можно принять лишь для слоев поглощения более 10в-1 см.
Большое число упругих и вязкоупругих твердых тел прозрачны для частот излучения лазера, в металлах для того же поглощения нужны другие интервалы частот.
Чтобы получить более резкий рост температуры, необходимой для генерации напряжений (превышающих предел текучести), поглощение энергии на единицу площади облучаемой поверхности должно быть существенно выше, чем 2 кал/см2. Повышение температуры на 100/200° С приводит к течению в большинстве металлов при оценке по пределу текучести при комнатной температуре. Повышение предела текучести с ростом температуры приводит к тому, что для течения необходим нагрев лазерным лучом до еще менее высоких температур. В противоположную сторону действует эффект роста предела текучести при высоких скоростях деформации.
Отметим, что генерацию волн напряжений при облучении можно использовать для оценки термических и механических характеристик материалов. Особенно важным параметром является эффективный предел текучести при температуре поверхности.
Если рост температуры поверхности в два раза больше, чем минимальное значение, необходимое для достижения предела текучести, то при условии равенства пределов текучести при растяжении и сжатии может происходить обратное течение (сдвиг противоположного знака). При этом возникает гораздо более сложная волновая картина. Ниже приведен анализ для случая промежуточного повышения температуры, когда течение происходит только в одном направлении. Построено формальное решение для распределения температур, уменьшающихся с расстоянием от облучаемой поверхности, и для напряжения течения, уменьшающегося с температурой или постоянного.
Одноосные смещения вводятся как достаточно хорошее приближение для расстояний распространения возмущений (порядка 2/5 слоев поглощения излучения лазера), малых по сравнению с облучаемой площадью. Упруго-пластическая волновая картина связана с упругим решением.
В упругом решении, рассмотренном выше, имеется начальное повышение сжимающих напряжений с максимумом γ (принятого за единицу напряжения) в районе свободной поверхности, так что единичный разрыв напряжений распространяется от поверхности. На расстоянии, в несколько раз превышающем слой поглощения, разрыв напряжений соответствует повышению напряжений от сжатия с амплитудой —0,5 до растяжения с амплитудой 0,5.
В случае упруго-пластических волн разрыв распространяется в виде двух частей: передней упругой части с величиной, зависящей от предела текучести, и более медленной пластической части, разделенных непрерывными упругими волнами. Пластический разрыв уменьшается и стремится к нулю на глубине двух слоев поглощения. Максимальные растягивающие напряжения за пластическим разрывом составляют меньше 0,5 в принятых единицах измерения. В предельном случае, соответствующем рассматриваемой промежуточной области температур, максимум напряжений не достигает 0,38. После точки затухания наблюдается некоторый вторичный рост амплитуды волны.
Кроме уменьшения максимального растягивающего напряжения наблюдается также расширение растягивающей части последней идущей волны, дающей разрыв в упругом решении.
Основные уравнения. Обозначим через х координату, определяющую расстояние частицы от поверхности в недеформированном состоянии, через t — время после импульса облучения. Предполагается, что в области, расположенной под зоной облучения, температура T вначале равна нулю и меняется только в направлении х. Одноосное смещение частиц в направлении х равно u(х, t).
Если эффектом импульсного облучения является мгновенное поглощение тепла q(x) в единице объема, то соответствующее повышение температуры дается соотношением
Возникновение упруго-пластических волн

здесь р — плотность материала в недеформированном состоянии, cv(T) — теплоемкость при постоянной плотности, cv — среднее значение теплоемкости. Предполагается, что q'(х)≤0, причем q'(x)→0 при x→∞ и основное поглощение происходит на поглощающей длине l, определяемой из соотношения
Возникновение упруго-пластических волн

(Q — общее поглощение энергии на единицу площади поверхности). Таким образом:
Возникновение упруго-пластических волн

где TM — максимальный рост температуры на поверхности. Так как теплопроводностью в объеме и по поверхности можно пренебречь в течение интервала прохождения волны в слое, равном нескольким слоям поглощения, то распределение температуры в течение всего рассматриваемого интервала можно вычислить из уравнения (5.24).
При ограничении одноосными смещениями существует основная продольная составляющая напряжения Коши σ и равные главные компоненты σi в каждом из направлений, нормальных к оси х. Общая деформация имеет единичную главную растягивающую компоненту ε, но во время пластической деформации возникают не равные нулю упругие (обратимые) и пластические (остаточные) компоненты общей главной деформации εi. В аналитической форме это записывается как
Возникновение упруго-пластических волн

где верхние индексы е и р обозначают соответственно упругую и пластическую части деформации, a dε определяет классическую меру деформации — удлинение на единицу текущей длины. Упругие деформации, определяемые законом Гука и термическим расширением в нашем случае, записывается как
Возникновение упруго-пластических волн

здесь K и G — соответственно модули упругости и сдвига, а также α — коэффициент линейного расширения, могут быть функциями текущих значений напряжений и температуры. В особенности, если отсутствует пластическое течение dεL=0 и чисто упругие деформации равны
Возникновение упруго-пластических волн

то критерии течения Мизеса и Треска сводятся к следующему:
Возникновение упруго-пластических волн

где у — предел текучести при простом растяжении, который в общем случае является функцией упрочнения, а возможно, и температуры.
Квазистатические механические испытания многих металлов показывают значительную температурную зависимость предела текучести после длительных выдержек при высоких температурах, однако не имеется экспериментальных данных, указывающих на существование соответствующих изменений свойств за время прохождения волны, равное 10в-6 сек. Несмотря на это, ниже будут приведены решения для случаев наличия и отсутствия температурной зависимости предела текучести. При этом в соответствии с результатами квазистатических испытаний предполагается, что предел текучести уменьшается с температурой.
Типичная зависимость между напряжением и деформацией для упрочняющихся материалов мало влияет на геометрию напряжений (кроме начала процесса течения), что можно показать путем анализа уравнений, не включающих члены, зависящие от температуры. При описании явлений в полосе с высокой скоростью деформации эффекты скорости деформации также не будут учитываться, за исключением возможного уточнения значения у(T). Таким образом,
Возникновение упруго-пластических волн

Поведение при течении можно описать полностью, если добавить постулат о пластической несжимаемости материала:
Возникновение упруго-пластических волн

Исключая dεLp путем комбинаций уравнений (5.25) и (5.30), dεLe — с помощью (5.26) и dσL — с помощью (5.28), получаем соотношение для продольной пластической деформации:
Возникновение упруго-пластических волн

При пластической деформации ее работа не может быть отрицательной, следовательно
Возникновение упруго-пластических волн

Исключая dεp с помощью (5.30), dεLp — с помощью (5.25) и используя уравнения (5.28) и (5.26), получаем
Возникновение упруго-пластических волн

В частности, для фиксированной частицы с постоянной температурой T(х)λdT=0
Возникновение упруго-пластических волн

Для определенности будем считать деформацию течения положительной, а обратное течение отрицательным. Тогда в окончательной форме
Возникновение упруго-пластических волн

Приводимый ниже анализ волновой картины существенно упрощается, если ввести предположение о том, что модули упругости и сдвига не зависят от напряжения, и измерять деформацию как удлинение на единицу длины, как это обычно делается в технике, т. е.
Возникновение упруго-пластических волн

Такое пренебрежение кривизной результирующих зависимостей напряжения от деформации было специально исследовано для волн напряжений с амплитудами, превышающими предел текучести на пять порядков, и было показано, что этот эффект незначителен и мало влияет на общую волновую картину и амплитуды волн. Поэтому ниже везде введено это упрощение.
При начальном мгновенном поглощении тепла деформация остается равной нулю и поэтому возникает изотропное давление, определяемое соотношением (5.26):
Возникновение упруго-пластических волн

Это давление является целиком упругим. Во время последующей деформации при температуре T=T(х) зависимости между напряжениями и деформациями для упругой и пластической деформации даются соответственно уравнениями (5.27) и (5.31) при dT=0. Оба уравнения являются линейными, но наклон прямых зависит от х, если модули K и G меняются с температурой. В результате этого процесса волновые уравнения для напряжений становятся неоднородными.
При анализе с помощью методов теории упругости предполагалось, что температура меняется в большом интервале, а модули могут меняться в 2 раза. При этом отличия от однородности существенны, но не очень велики. При очень сильной зависимости параметров материала от температуры эффект становится еще меньше и не будет учитываться ниже. Таким образом, зависимости между напряжением и деформацией для упругой и пластической частей имеют постоянные наклоны (К+4/3G) и К.
Возникновение упруго-пластических волн

На рис. 5.8 показана типичная схематическая зависимость между продольными напряжениями и деформациями для частицы на расстоянии х(х≥0), при постоянной температуре. Отрезком OA на графике показан начальный скачок напряжения при нулевой деформации с возникновением сжимающего напряжения, равного 3KαT(х), а последующие упругие изменения за счет температуры, предшествующие течению, обозначены отрезком RP. Из уравнения (5.27) следует, что они описываются соотношением
Возникновение упруго-пластических волн

и начальные пределы текучести равны
Возникновение упруго-пластических волн

Последующее течение или обратное течение дает необходимые пластические деформации PB или RD, постоянное направление указано стрелками. Уменьшение σ из пластического состояния дает отрицательную упругую деформацию, идущую до тех пор, пока не достигается новый предел текучести для обратного течения, после падения напряжения на (К+4/3G) y/G, а затем происходит обратное течение. Для различных частиц начальное напряжение -3KαT(х) различно и если у=у(T), то меняется величина области упругой деформации (К+4/3G)y/G. Требования к Т(х), необходимые для течения, рассмотрены ниже. Уравнение моментов
Возникновение упруго-пластических волн

при дифференцировании по х с использованием определения деформации (5.36) и законов упругой и пластической деформации (5.26) и (5.31) сводится к следующему виду:
Возникновение упруго-пластических волн

где с0 и с1 — соответственно скорости упругой и пластической волны, заданные соотношениями
Возникновение упруго-пластических волн

Отметим, что эти волновые уравнения получены также для линейной зависимости температуры от времени и условий, при которых модуль упругости и предел текучести не зависит от температуры, а также для случая К, G и у, зависящих от температуры Т=Т(х), когда скорости распространения волн зависят от T и, следовательно, от х.
Для того чтобы определить характеристики распространения разрыва напряжений, мы должны ниже постулировать мгновенно возникающую зависимость между напряжением и деформацией. Подробный анализ показывает, что можно принять соответствующую зависимость для непрерывного изменения напряжений, из которой следует, что упругие скачки распространяются со скоростью с0, а пластические скачки — со скоростью с1. Скачок, соответствующий как упругим, так и пластическим изменениям, разделяется на два скачка, распространяющихся с различными скоростями.
Влияние пластичности на волновую картину. Введем безразмерные координаты ε и η для расстояния и времени:
Возникновение упруго-пластических волн

и определим безразмерные напряжения θ(ξ, η) и эффективный предел текучести Y(ξ), где за единицу принято начальное максимальное напряжения сжатия. Тогда
Возникновение упруго-пластических волн

Начальное распределение напряжений дается соотношениями (5.37) и (5.24):
Возникновение упруго-пластических волн

Если мы далее постулируем, что f"(x)=0, и учтем, что из экспериментальных данных следует, что Y(T)≤0 для многих материалов, то получаем
Возникновение упруго-пластических волн

Эти условия получены при аналитическом рассмотрении справедливости решения волнового уравнения. Вторым начальным условием является нулевая скорость изменения напряжений и, наконец, из условия отсутствия напряжений на границе следует
Возникновение упруго-пластических волн

Если течение не происходит, тогда решение везде удовлетворяет уравнению упругих волн с начальными и граничными условиями (5.44), (5.47) и сводится к
Возникновение упруго-пластических волн

Выше (в разделе об упругих волнах) было приведено только решение для E(ξ)=0e-ξ. Существует постоянный скачок напряжений -E(0)=1 вдоль характеристики η=ξ. На рис. 5.9 этот скачок обозначен ОМ. Предположение о том, что E''(ξ)≤0, существенно при утверждении о том, что напряжение при фиксированном 1 уменьшается от η=0 до η=ξ, т. е. возрастает сжимающее напряжение. После возрастания напряжения происходит его скачок до напряжения растяжения при η=ξ и уменьшение его до нуля при η=0.
Возникновение упруго-пластических волн

Таким образом, максимальные сжимающее и растягивающее напряжения при каждом ξ существуют при η=1 и η=-ξ соответственно, и в дальнейшем происходит уменьшение и увеличение этих значений при η→∞. Максимальное напряжение сжатия равно -1 при ξ=0, максимальное напряжение растяжения равно 0,5 и достигает предела при ξ→∞.
Если ввести безразмерную функцию течения D(ξ, η), то критерий начального течения будет иметь вид
Возникновение упруго-пластических волн

что соответствует точкам P и R на рис. 5.8. Для упругого решения (5.48) при каждом фиксированном ξ и растущем η величина D уменьшается от 0 при η=0 до отрицательного значения
Возникновение упруго-пластических волн

-Затем происходит скачок до положительного значения
Возникновение упруго-пластических волн

и затем — уменьшение до -E(ξ)≥0 при η→∞.
Величина D(ξ, ξ+) уменьшается с ростом ξ, что видно из уравнения (5.46), так что D(ξ, η) имеет максимальное значение D(0, 0+)=1. Таким образом, течение с положительным знаком сначала будет происходить в точке (0, 0), если y(0)≤1 и y'(ξ)≥0. Аналогично, -D(ξ, ξ-) увеличивается с ростом ξ, достигает предельного значения, равного 0,5, по мере того, как ξ стремится к бесконечности, так что обратное течение не происходит, если у(0)≥0,5.
При изменяющемся пределе текучести, таком, что y(0)≤0,5, у(∞)≥0,5, обратное течение может идти или не идти, но определенно будет проходить при y(оо)1≤0,5. Приняв затем допущение Е'''(ξ)≥0, что удовлетворяется для функции -e-ξ, получаем, что при -η≤ξ величина -D(ξ, η) достигает максимума при фиксированном η при η=ξ-, так что обратное течение сначала будет происходить при (ξR, ξR-), где
Возникновение упруго-пластических волн

если считать, что уравнение (5.50) имеет решение. Рассмотрим теперь промежуточный интервал температур, при котором возникает максимальное напряжение σм, такое что
Возникновение упруго-пластических волн

При этом в области LOM на рис. 5.9 обратное течение не возникает.
Перед тем как перейти к анализу волновых процессов, можно провести оценки, основанные на данных квазистатических испытаний при комнатной температуре. При этом можно использовать данные для различных металлов и определить повышение температуры TM, необходимое для того, чтобы началось течение, т. е. для получения такого значения σм, что по определению (5.43) y=1.
Если при более высокой температуре поверхности достигается истинный предел текучести при высоких скоростях деформации, то необходимый рост TM должен быть меньше. Используя значения у, К, G и χ из справочных таблиц, можно получить для углеродистой стали, магнитного сплава, марганцевой бронзы и алюминиевого сплава соответственно температуры: 55, 60, 70 и 170° С. Интересно, что для титана эта температура гораздо выше, она составляет 650° С. Для основной части металлов отношения скоростей пластических и упругих волн, определяемые уравнением (5.42), имеют одинаковое приближенное значение 0,8.
При Y(0) < 1 при ξ=0+ и времени η=0 напряжение претерпевает скачок от -1 до -1+Y(0) в упругой области (прямая AP на рис. 5.8). Остающаяся часть скачка до достижения нулевого граничного напряжения проходит пластически. Наиболее простая волновая картина, согласующаяся с этим модифицированным поведением в точке (0, 0), предполагает распространение приведенного упругого скачка величиной Y(0) вдоль характеристики OM на рис. 5.9. Затухающий пластический скачок Δ(ξ) распространяется вдоль пластической характеристики OA и сводится к нулю в точке А при ξ=ξ*. Таким образом
Возникновение упруго-пластических волн

Пластическая волна непрерывно диссипирует энергию, и после начального поглощения конечной энергии дальнейшего ее поступления в тело не происходит, поэтому волна должна затухать. Следовательно, без потери общности рассуждения можно ввести конечную дистанцию затухания волны ξ* в предполагаемую волновую картину. Далее предполагается, что в области MOAN на рис. 5.9 течение не происходит, и, следовательно, упругое решение в области LOM не меняется от этой модификации.
Таким образом, по мере возрастания η от нуля напряжение, действующее на типичную частицу ξ в интервале 0≤ξ≤ξ*, монотонно уменьшается от E(ξ) вплоть до достижения точки η=ξ. Изменение происходит вдоль AR (рис. 5.8), но точка R не проходится. Упругий скачок Y(O) идет при η=ξ вдоль RP, но точка P не проходится. После этого происходят непрерывные упругие изменения внутри PR пока не достигается пластическая характеристика (рис. 5.9). Как предлагалось выше, вдоль OA, напряжение достигает местного предела текучести Y(ξ) (т. е. точки P на рис. 5.8), вдоль ОА той же характеристики идет скачок Δ(ξ), сопровождаемый пластическим путем PB (рис 5.8). Условие Δ≥0 указывает на то, что изменение происходит в разрешенном направлении PB. Из упругого решения следует невозможность того, чтобы напряжения растяжения оставались за пластическим скачком, так, чтобы точка В на рис. 5.8 находилась за Z, а также, чтобы при последующем непрерывном уменьшении напряжения до нуля напряжение никогда не достигало уровня В или падало ниже с. Таким образом, единственным остающимся путем является упругий путь ВС.
В точке затухания А на рис. 5.9 напряженно-деформированное состояние соответствует точке P на рис. 5.8, и при ξ≥ξ* все изменения идут по пластическому пути PR. Эти предположения о волновой картине должны быть подтверждены после рассмотрения формального решения.
Решение волнового уравнения. Если определить отношение скоростей пластической и упругой волн как
Возникновение упруго-пластических волн

то пластическая характеристика OA на рис. 5.9 определится точками
Возникновение упруго-пластических волн

Требования, наложенные на предположения о волновой картине, имеют вид
Возникновение упруго-пластических волн

Возникновение упруго-пластических волн

Условие пластической работы (5.57) связано с определением ξ* из (5.52) и условие упругости (5.55) удовлетворяется, если область на рис. 5.9 удовлетворяет ограничению (5.51). За исключением путей разрыва OM и OA, напряжение во всех других областях на рис. 5.9 в плоскости ξ, η описывается непрерывными упругими волнами, движущимися с единичной скоростью dξ/dη. Движение происходит как в положительных, так и в отрицательных направлениях по оси Если ввести безразмерную скорость частицы
Возникновение упруго-пластических волн

то условие скачки вдоль упругого пути OM будет
Возникновение упруго-пластических волн

вдоль пластического пути OA
Возникновение упруго-пластических волн

Для областей с непрерывным изменением напряжения
Возникновение упруго-пластических волн

Решение получается, если представить напряжение в виде пар волновых функций, в каждой из областей на рис. 5.9 удовлетворяющих начальным и граничным условиям (5.44) и (5.47), а также условиям скачка (5.59) и (5.60). Напряжения 0(ξ, η) на отдельных участках даются, как
Возникновение упруго-пластических волн

Единичная функция j(z) определяется дифференциальным уравнением
Возникновение упруго-пластических волн

Наконец, формальное решение завершается определением первого нуля функции ξ* для пластического скачка напряжения:
Возникновение упруго-пластических волн

Вследствие того что δ≤1 и наверняка мало, так как величина с имеет порядок 0,8, решение уравнения (5.67) можно получить в виде ряда методом итерации, так что
Возникновение упруго-пластических волн

В особенности для малых δ и Y(ξ), ограниченного 1/8, для достижения высокой степени точности достаточно несколько членов ряда. Однако различные свойства решений волнового уравнения могут быть получены без знания точного вида функции j(z). Отметим, что, используя соотношения (5.43), (5.45) и (5.46), можно получить
Возникновение упруго-пластических волн

Тогда из (5.67) следует
Возникновение упруго-пластических волн

Полагая ξ→∞ в соотношениях (5.69), (5.67) и (5.70) и используя (5.45) и (5.52), получаем
Возникновение упруго-пластических волн

Таким образом, существует первый путь ξ*≥0 функции Δ(ξ), так что
Возникновение упруго-пластических волн

При этом удовлетворяется требование (5.57). Отсюда следует, что пластическая волна затухает за конечный интервал времени. Внутри области MOAN разность Y(ξ)—D(ξ, η) равна нулю на прямой OA, что видно из построения диаграммы. На прямой OM эта разность не является отрицательной, т. е.
Возникновение упруго-пластических волн

с учетом соотношения (5.43) и (5.46). В действительности эта величина существенно положительна ξ≥0, если E''(0)≤0 или Y'(0)≥0. На прямой AN η=[(1—с)/с]ξ* + ξ:
Возникновение упруго-пластических волн

Эта функция растет по мере того, как ξ растет от ξ*, достигая предела
Возникновение упруго-пластических волн

при ξ→∞. Это увеличение, равное — 1/2E{[(1+с)/с]}, после A(ξ*, η*) уменьшается по мере увеличения расстояния ξ*. Аналогичным образом разность У(ξ)-D(ξ*, η*) равна нулю в точке А, не уменьшается вдоль AN и становится существенно положительной для ξ≥ξ*, если Y'(ξ*)≥0 или E"(ξ*)≤0. Если E"(ξ)≡0, начальное распределение является линейным, затем при фиксированном значении ξ функция θ(ξ, η) является монотонно возрастающей (существенно возрастающей, если Y'(ξ)≥0) с ростом η, так что разность Y(ξ)-D(ξ, η) уменьшается. Следовательно, эта разность в области MOAN не является отрицательной.
В общем случае функция Θ(ξ, η) не является монотонной по η, но на прямой OA справедливо соотношение
Возникновение упруго-пластических волн

и эта функция является существенно положительной, если Y'(ξ)≥0 или E"(ξ)≤0. Внутри области OAB j"(z)≥0 и, следовательно,
Возникновение упруго-пластических волн

в частности, напряжение за пластическим разрывом в точке (ξ, ξ +/с) равно
Возникновение упруго-пластических волн

Это напряжение является растягивающим для 0≤ξ≤ξ*. Таким образом, скачок пластической деформации достигается в растянутом состоянии в точке В на рис. 5.8.
В общем случае θp(ξ) не растет монотонно, как показано ниже в одном из примеров. Производные f"(z)≤0, дθ/дη≤0, и поэтому напряжение меняется по траектории BW, т. е. происходит разгрузка по мере увеличения η и напряжение остается в упругой области ВС. В случае, когда Y тождественно равно постоянной величине, то G(z) из (5.69), из (5.67) и θp(ξ) из (5.78) не зависят от Y при данном δ, но пластический скачок Δ(ξ) из (5.70) обязательно зависит от Y.
Таким образом, дистанция затухания ξ* и, следовательно, интервал изменения значений аргумента для функций j(z) и Θp(ξ) зависит от Y.
В областях NABQ и QBC напряжение также является положительным и уменьшается с η. Для области QBC этот вывод является тривиальным, так как E'(ξ)≥0, E"(ξ)≤0 и Θ(ξ, η)→0 при η→∞ при фиксированном значении в связи с тем E(ξ)→0 в случае ξ→∞. Следовательно, напряжение положительно на прямой BQ и остается показать, что оно уменьшается в области NABQ. В этой области
Возникновение упруго-пластических волн

С помощью уравнений (5.67) и (5.71) получаем
Возникновение упруго-пластических волн

и, учитывая (5.69), (5.46) и (5.43),
Возникновение упруго-пластических волн

Таким образом, j'(z)≥1/2E'(z) и из (5.79) следует, что напряжение уменьшается с η, что замыкает решение. Приведем результаты численных расчетов, проведенных для 6 вариантов. Во всех случаях
Возникновение упруго-пластических волн

что удовлетворяет постулатам:
Возникновение упруго-пластических волн

В первых четырех случаях δ=0,111 и с помощью двух членов ряда (5.71) функция j(z) определяется вплоть до z=10 с ошибкой не более 1,5*10в-3, в действительности z*<5. Случаи 3 и 4 соответствуют линейному уменьшению предела текучести с ростом температуры. Предел текучести уменьшается в 2 раза при максимальном повышении температуры. Случаи 1 и 2 соответствуют поверхностным значениям Y(0). Случаи 5 и 6 являются повторением случаев 1 и 2 с меньшим значением с.
Возникновение упруго-пластических волн

Для этих случаев 6 = 0,167, и использования двух членов в уравнении (5.71) достаточно, чтобы ошибка составляла менее 2*10в-3 при z≤z*≤4,3. Результаты для этих случаев показывают несколько меньшую, чем для случаев 1 и 2, дистанцию затухания ξ* и несколько более низкое максимальное значение θp(ξ) при ξ≤ξ* и величину предельного напряжения θN при ξ→∞. Различие составляет около 10%. Дальнейшее уменьшение с приводит к G≥0,75K, что нехарактерно для большинства случаев, поэтому в качестве типичных результатов можно принять случаи 1/4.
Возникновение упруго-пластических волн

На рисунке 5.10 приведены графики функции j{[(1+с)/с]ξ} и напряжения θp(ξ) для случаев 1/2. Расстояния затухания составляют соответственно:
Возникновение упруго-пластических волн

Из графиков видно, что соответствующие кривые для случаев 1 и 2 совпадают вплоть до минимальной дистанции затухания ξ2* (точки на кривых). Соответствующие кривые для случаев 3 и 4, где
Возникновение упруго-пластических волн

также мало отличаются, и для них отмечены лишь конечные точки. Из зависимости Y(ξ) от G(z) по соотношению (5.69) и из решения (5.71) следует, что для малых δ изменение Y(ξ) оказывает малое влияние на j(z).
В случае 1 напряжение за пластическим разрывом 0р(|) имеет максимум, равный 0,38 при ξ=1,34≤ξ*. Эта величина больше предельного напряжения для упругой волны, идущей наружу, равного θN=0,37. В случаях 2/4 пластический максимум составляет θp(ξ*), что меньше упругого максимума. Соотношения между этими величинами имеют вид
Возникновение упруго-пластических волн

Для уменьшающейся дистанции затухания последующее увеличение упругого растягивающего напряжения более значительно, что следует из (5.75) и предел θN становится ближе к предельному значению для чисто упругой задачи, равному 0,5. Однако в случае 1, где предельное значение Y связано с соответствующей волновой картиной, возникает уменьшение в 0,76 раз максимального растягивающего напряжения и растягивающего напряжения в упругой волне.
Возникновение упруго-пластических волн

Другим аспектом решения является учет импульсной формы волны. На рисунке 5.12 приведено сравнение импульсов для ξ=2 в случае 1/4 и для чисто упругого решения. Во всех случаях, как видно из кривых, пластический разрыв затухает. Кроме различных максимальных напряжений существует также разброс в нарастании растяжения, которое менее резко в случае 1. Разброс меньше при меньших расстояниях где упругий и пластический скачки не разделены заметным промежутком времени. В каждом случае при вычислениях было получено, что напряжение остается ниже предела текучести в области MOAN на рис. 5.9, что требовалось в задаче. Разрыв я упругих растягивающих напряжениях имеет постоянную величину Y(0), которая может быть обнаружена, если имеет место распространение оставшейся части скачка.
Описанная волновая картина будет справедлива для Y(0)≤1/2, если параметры областей в плоскости ξ—Tj не изменяются под действием обратного течения. Эта область уменьшается по мере того, как уменьшается расстояние ξR, определяемое уравнением (5.50). В предельном случае Y=0, ξR=0 в то время, как при Y→0,5, ξR→∞. Величина θp(ξ) не зависит от постоянного Y, поэтому максимальное значение, полученное при ξ=1,34 в случае 1, будет достигнуто при меньших Y, если [2с/(1+с)]ξR, ξ*≥1,34.
Таким образом, максимальное критическое растяжение может быть уменьшено только при появлении обратного течения на достаточно коротких расстояниях ξR.