» » Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении
06.02.2015

Для аналитического расчета распределения температуры по сечению фасонного профиля при регулируемом охлаждении применили численное решение двумерной задачи теплопроводности методом конечных разностей с учетом зависимости теплофизических свойств металла от температуры.
Теплопроводность в металле описывается уравнением Фурье
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

где G - двумерная область с границей Г.
Начальное распределение температур задано
t (х,у, 0) = f (х, у).
На границе выполняется условие
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Для численного решения предложен следующий метод. С целью избавления от нелинейности выражения (3.6) введена функция U(t), которая является монотонно возрастающей, обратная ей функция t(U) = U-1 (t).
После определения ∂U/∂т, ∂2U/∂x2 и ∂2U/∂y2 выражение (3.6) можно представить в виде
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Вид уравнения (3.7) позволяет упростить построение конечно-разностной схемы расчета. В процессе машинного счета производится перерасчет из U(t) в t(U) и обратно, что позволяет выводить на печать действительные значения температуры на любом расчетном шаге по времени.
После деления тела G квадратной сеткой, получим его сеточную аппроксимацию G и аппроксимацию границ Г.
Для расчета внутренних точек применили выражение
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Форму охлажденного профиля задавали координатами граничных точек. Для расчета вводили левые и правые границы тела в виде двух массивов i1(j) и i2(j), то есть границы по х. Таким образом описывается любое сложное тело, не имеющее отверстий. Анализ и идентификация граничных точек осуществляется автоматически, при этом границы идентифицируются на выпуклые, вогнутые и плоские.
Расчетные формулы имеют вид
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Значения t на границах переводили в значения U по U-1 таблице, после чего находили значения U для внутренних точек на новом расчетном шаге по времени.
Необходимым является этап расчета, когда для конкретной марки стали вычисляют значения U(t) и строят единую таблицу соответствия между U, t, С, ρ и λ.
Этот этап работы выполняется заблаговременно. В табл. 16 представлены значения расчетных параметров для стали 20. В интервалах между приведенными в таблице температурами значения параметров ρ и λ аппроксимировали линейными зависимостями.
При выборе рациональной схемы регулируемого охлаждения и режимов деформирования подстуженного раската в калибрах значительно удобнее пользоваться среднемассовой температурой профиля и отдельных элементов. Известные формулы расчета среднемассовой температуры в большинстве своем предназначены для профилей простой формы (круг, пластина, квадрат).
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Нами в работе предложена формула расчета среднемассовой температуры фасонного профиля и отдельных его элементов в процессе машинного счета, в зависимости от распределения коэффициента теплоотдачи по поверхности в любой момент процесса охлаждения. Считали, что тело охлаждается дифференцированно по сечению и коэффициент теплоотдачи зависит от координаты точки на поверхности для данного промежутка времени от k до k+1, а температура охлаждающей среды в течение всего процесса постоянна.
Известно, что при охлаждении тела от среднемассовых температур t-k до t-k+1 за время т оно теряет количество тепла
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

С другой стороны, каждый элемент тела с поверхностью dS за время dт теряет количество тепла
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Суммарная потеря тепла по всей поверхности тела составит
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Принято, что температура поверхности тела во времени изменяется по экспоненциальному закону
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Здесь tkП(S) - температура поверхности в момент времени кг, tk+1П(S) -температура поверхности в момент времени k+1.
Приравняв (3.12) и (3.13) после преобразований и считая, что коэффициент теплоотдачи по длине раската не изменяется, получим
Математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении

Разработанная математическая модель позволяет рассчитывать температурное поле при охлаждении раската в устройствах различных конструкций и в процессе транспортирования по рольгангу путем изменения коэффициента теплоотдачи а по варианту фасонного профиля. Блок-схема алгоритма расчета температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении приведена в работе.
Для установления адекватности математической модели температурного поля фасонных профилей реальному процессу изменения температуры металла при регулируемом охлаждении проведена ее качественная и количественная оценка.
Теоретический расчет температурного поля профилей проведен с использованием разработанной модели в широком диапазоне изменения параметров процесса регулируемого охлаждения проката. Температуру начала охлаждения профилей изменяли от 1100 до 850°С, конца охлаждения от 720 до 400°С, что соответствует различным режимам контролируемой прокатки. Моделировали процесс охлаждения в непрерывных и секционных установках с изменением коэффициента теплоотдачи в интервале от 130 (охлаждение на воздухе) до 20000 Вт/(м2*К) (охлаждение в камерном устройстве водой высокого давления) для крупносортных угловых и полособульбовых профилей из стали СтЗ, 09Г2, 10ХСНД. Расчет проводили на ЭВМ.
Для оценки модели проведено экспериментальное исследование, в ходе которого образец полособульбового профиля №22А из стали 10ХСНД с зачеканенными платина-платинародиевыми термопарами охлаждали в стоячей воде, на воздухе и водовоздушной смесью. В точках, совпадающих с узлами сетки расчета температур по конечно-разностной схеме, на глубину 50 мм в образец зачеканивали термопары. Для уменьшения погрешности измерения температуры из-за охлаждения через торец, торцевые поверхности образцов покрывали теплоизоляционной мастикой.
Сравнение результатов расчета по разработанной математической модели и экспериментальных исследований показало, что при водовоздушном охлаждении образца для термопар №1 и №3, расположенных на расстоянии 3-6 мм от охлаждаемой поверхности в интервале температур 1000-600°С отклонение расчетных значений от экспериментальных не превышает 3%. Для термопары №2, установленной в центре наиболее металлоемкой части профиля, охлаждение которой определяется условиями внутреннего теплообмена в металле и зависит от марки стали, отклонение расчетных значений от экспериментальных растет с уменьшением температуры элемента и не превышает 5%. Максимальное отклонение расчетного значения от экспериментального в исследуемом диапазоне температур для термопары №3, показывающей температуру центра полки профиля, оказалось не более 6%. При охлаждении образца на воздухе и в стоячей воде максимальная погрешность достигала 9%.
Таким образом, сопоставление результатов расчета и эксперимента показало, что разработанная математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении описывает реальный процесс охлаждения с достаточной степенью точности.