Для аналитического расчета распределения температуры по сечению фасонного профиля при регулируемом охлаждении применили численное решение двумерной задачи теплопроводности методом конечных разностей с учетом зависимости теплофизических свойств металла от температуры.
Теплопроводность в металле описывается уравнением Фурье
где G - двумерная область с границей Г.
Начальное распределение температур задано
t (х,у, 0) = f (х, у).
На границе выполняется условие
Для численного решения предложен следующий метод. С целью избавления от нелинейности выражения (3.6) введена функция U(t), которая является монотонно возрастающей, обратная ей функция t(U) = U-1 (t).
После определения ∂U/∂т, ∂2U/∂x2 и ∂2U/∂y2 выражение (3.6) можно представить в виде
Вид уравнения (3.7) позволяет упростить построение конечно-разностной схемы расчета. В процессе машинного счета производится перерасчет из U(t) в t(U) и обратно, что позволяет выводить на печать действительные значения температуры на любом расчетном шаге по времени.
После деления тела G квадратной сеткой, получим его сеточную аппроксимацию G и аппроксимацию границ Г.
Для расчета внутренних точек применили выражение
Форму охлажденного профиля задавали координатами граничных точек. Для расчета вводили левые и правые границы тела в виде двух массивов i1(j) и i2(j), то есть границы по х. Таким образом описывается любое сложное тело, не имеющее отверстий. Анализ и идентификация граничных точек осуществляется автоматически, при этом границы идентифицируются на выпуклые, вогнутые и плоские.
Расчетные формулы имеют вид
Значения t на границах переводили в значения U по U-1 таблице, после чего находили значения U для внутренних точек на новом расчетном шаге по времени.
Необходимым является этап расчета, когда для конкретной марки стали вычисляют значения U(t) и строят единую таблицу соответствия между U, t, С, ρ и λ.
Этот этап работы выполняется заблаговременно. В табл. 16 представлены значения расчетных параметров для стали 20. В интервалах между приведенными в таблице температурами значения параметров ρ и λ аппроксимировали линейными зависимостями.
При выборе рациональной схемы регулируемого охлаждения и режимов деформирования подстуженного раската в калибрах значительно удобнее пользоваться среднемассовой температурой профиля и отдельных элементов. Известные формулы расчета среднемассовой температуры в большинстве своем предназначены для профилей простой формы (круг, пластина, квадрат).
Нами в работе предложена формула расчета среднемассовой температуры фасонного профиля и отдельных его элементов в процессе машинного счета, в зависимости от распределения коэффициента теплоотдачи по поверхности в любой момент процесса охлаждения. Считали, что тело охлаждается дифференцированно по сечению и коэффициент теплоотдачи зависит от координаты точки на поверхности для данного промежутка времени от k до k+1, а температура охлаждающей среды в течение всего процесса постоянна.
Известно, что при охлаждении тела от среднемассовых температур t-k до t-k+1 за время т оно теряет количество тепла
С другой стороны, каждый элемент тела с поверхностью dS за время dт теряет количество тепла
Суммарная потеря тепла по всей поверхности тела составит
Принято, что температура поверхности тела во времени изменяется по экспоненциальному закону
Здесь tkП(S) - температура поверхности в момент времени кг, tk+1П(S) -температура поверхности в момент времени k+1.
Приравняв (3.12) и (3.13) после преобразований и считая, что коэффициент теплоотдачи по длине раската не изменяется, получим
Разработанная математическая модель позволяет рассчитывать температурное поле при охлаждении раската в устройствах различных конструкций и в процессе транспортирования по рольгангу путем изменения коэффициента теплоотдачи а по варианту фасонного профиля. Блок-схема алгоритма расчета температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении приведена в работе.
Для установления адекватности математической модели температурного поля фасонных профилей реальному процессу изменения температуры металла при регулируемом охлаждении проведена ее качественная и количественная оценка.
Теоретический расчет температурного поля профилей проведен с использованием разработанной модели в широком диапазоне изменения параметров процесса регулируемого охлаждения проката. Температуру начала охлаждения профилей изменяли от 1100 до 850°С, конца охлаждения от 720 до 400°С, что соответствует различным режимам контролируемой прокатки. Моделировали процесс охлаждения в непрерывных и секционных установках с изменением коэффициента теплоотдачи в интервале от 130 (охлаждение на воздухе) до 20000 Вт/(м2*К) (охлаждение в камерном устройстве водой высокого давления) для крупносортных угловых и полособульбовых профилей из стали СтЗ, 09Г2, 10ХСНД. Расчет проводили на ЭВМ.
Для оценки модели проведено экспериментальное исследование, в ходе которого образец полособульбового профиля №22А из стали 10ХСНД с зачеканенными платина-платинародиевыми термопарами охлаждали в стоячей воде, на воздухе и водовоздушной смесью. В точках, совпадающих с узлами сетки расчета температур по конечно-разностной схеме, на глубину 50 мм в образец зачеканивали термопары. Для уменьшения погрешности измерения температуры из-за охлаждения через торец, торцевые поверхности образцов покрывали теплоизоляционной мастикой.
Сравнение результатов расчета по разработанной математической модели и экспериментальных исследований показало, что при водовоздушном охлаждении образца для термопар №1 и №3, расположенных на расстоянии 3-6 мм от охлаждаемой поверхности в интервале температур 1000-600°С отклонение расчетных значений от экспериментальных не превышает 3%. Для термопары №2, установленной в центре наиболее металлоемкой части профиля, охлаждение которой определяется условиями внутреннего теплообмена в металле и зависит от марки стали, отклонение расчетных значений от экспериментальных растет с уменьшением температуры элемента и не превышает 5%. Максимальное отклонение расчетного значения от экспериментального в исследуемом диапазоне температур для термопары №3, показывающей температуру центра полки профиля, оказалось не более 6%. При охлаждении образца на воздухе и в стоячей воде максимальная погрешность достигала 9%.
Таким образом, сопоставление результатов расчета и эксперимента показало, что разработанная математическая модель температурного поля фасонных профилей при регулируемом охлаждении описывает реальный процесс охлаждения с достаточной степенью точности.