» » Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей
06.02.2015

Как указывалось выше, решение задачи, связанной с определением температурного поля раската в общем случае, наталкивается на серьезные трудности. Если же процесс теплообмена характеризуется непостоянством коэффициента теплоотдачи, температуры охлаждающей среды и теплофизических свойств металла, решение задачи теплопроводности точными аналитическими методами (без упрощающих допущений) становится невозможным при современном состоянии математического аппарата. В этом случае наиболее эффективными оказываются приближенные численные методы, в частности, метод конечных разностей или метод сеток.
Одномерная математическая модель может быть использована для определения температурного поля раската простой формы, например круга, при равномерном по периметру охлаждения или полосы при двустороннем ее охлаждении, когда потерями тепла через боковые грани можно пренебречь.
При разностном решении одномерного уравнения теплопроводности
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

входящие в него производные аппроксимировали производными в конечных разностях
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

При этом разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности принимает вид
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

где t - текущее значение температуры; а - коэффициент температуропроводности; Δx - шаг по координате; Δτ - шаг по времени.
При решении уравнения (3.1) температуры определяют в отдельных точках j = 1, 2, 3 ... n, лежащих на оси х. При этом предполагают, что в каждый момент времени т распределение температур в промежутке между соседними точками является линейным.
Выражение (3,1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу точек, в которых определяется температура. Индексы k и k+1 характеризуют момент времени, которому соответствует значение температуры: tk - значение температуры в некоторый момент времени τ; tk+1 - значение температуры в момент времени τ+Δτ.
Каждое из конечно-разностных уравнений содержит лишь одну неизвестную температуру tk+1. Эта температура устанавливается в узле за малый промежуток времени Δτ. При этом предполагается, что исходная температура в каждом из узлов известна.
Уравнение (3.1) построено по конечно-разностной схеме и легко решается в явном виде относительно неизвестной функции.
При использовании явных конечно-разностных схем величина допустимого шага по времени ограничена и зависит от выбранного шага по координате, температуропроводности материала и коэффициента теплоотдачи. Для получения удовлетворительных результатов должно выполняться неравенство
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

где а - коэффициент температуропроводности, максимальный в расчетном диапазоне температур; Δx - выбранный шаг по координате.
В случае невыполнения условия (3.2) возникает явление, называемое неустойчивостью. Оно не связано с ошибками округления и является свойством самой системы конечно-разностных уравнений. В теории конечно-разностных уравнений показано, что при соблюдении условия устойчивости (3.2) решение системы (3.1) приближается к точному решению соответствующего дифференциального уравнения по мере уменьшения Δx и Δt.
Температура поверхности в данный момент времени определяется по формуле
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

температура внутренних слоев
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

температура центра
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

среднемассовая температура
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

В уравнениях (3.3)-(3.5) обозначено σ - критерий Фурье, отнесенный к слою толщиной Δx и к промежутку времени Δt;
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

Принимается, что тепловой поток в элементарном слое за время Δt не изменяется
Математическая модель температурного поля простых сортовых профилей

Приведенные уравнения (3.1-3.3) позволяют рассчитать температуру в любой точке сечения металла за необходимый промежуток времени.