» » Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры
22.01.2015

Для четкого обозначения в кристалле плоскостей и направлений проводится так называемое индексирование. По рис. 6.1.1 и 6.1.2 для этого выбирается х-ось в направлении оси решетки а, у-ось в направлении оси решетки b и z-ось в направлении оси решетки с (ср. рис. 6.1.2 и рис. 6.1.3). Система координат соответствует типу решетки. В общем речь идет не об орторомбической системе координат, так что правила вычисления для орторомбических координат здесь нельзя применить сразу.
Для описания направления в кристаллической решетке в желаемом направлении проводится прямая через начало координат (см. рис. 6.1.2) и точку Р. Пусть координата х будет u, координата у будет v, а координата z будет w (рис. 6.2.1). Точку P можно тогда определить вектором
r = uа + vb + wc.

Величины u, v, w являются индексами искомого направления и обычно заключаются в квадратные скобки; соответствующее направление называется тогда [uvw]-направлением. Так как для указания направления важны только отношения u:v:w, то описанным способом определяются индексы u, v и w только тогда, когда они кратны произвольной константе, например f, т.е. тройка индексов fu, fv, fw обозначает то же направление, что и тройка u, v, w.
Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры

Константа f обычно выбирается так, что и, v, w получаются целыми неделимыми числами. Так, например, вместо [1/4, 1/3, 1/12] пишется [341] (f = 12) или вместо [422] [211] (f = 1/2).
Отрицательный индекс обозначается черточкой- сверху [321]: u = -3, v = 2, w = -1. В качестве примера для индексирования можно указать направления ребер куба кубического кристалла. Они обозначаются
[100] [010] [001] [100-] [010-] [001-].

Так как все ребра куба по принципу симметрии эквивалентны, то процесс перехода в направлении [100] может также проходить в любом из указанных выше направлений. Для того чтобы в таком случае не всегда указывать все отдельные направления, целесообразно обозначать эквивалентные направления общим символом. Для этого индексы заключаются в угловые скобки и направления называются [uvw]-направлениями. Так, вышеуказанные. шесть направлений называются [100]-направлениями.
Соответственно в кубической решетке направления пространственных диагоналей куба являются [111]-направлениями. В частности, речь идет при этом о восьми направлениях:
[111], [111], [111], [111], [111], [111], [111] и [111].

Для обозначения плоскости в кристаллической решетке решетка помещается в систему координат (см. рис. 6.1.2) и определяются точки пересечения с осями координат (рис. 6.2.2). Отрезки осей при этом указываются в единицах параметров решетки а, b, с. Ho так как три точки, расположенные на одной прямой, не определяют плоскость, то становится необходимым применение величин n1a, n2b и n3c для обозначения этой плоскости.
В кристаллографии и физике твердого тела оказалось целесообразным применять точки пересечения n1a, n2b, n3c не прямо (не непосредственно), а пересчитывать их в так называемые индексы Миллера h, k, l по следующему правилу:
1. Определение обратных величин: 1/n1, 1/n2, 1/n3..
2. Умножение величин этих отрезков на наименьший общий знаменатель n.
3. Целые числа h = n1/n1, k = n/n2, l = n/n3 являются индексами Миллера.
Это положение можно показать с помощью примера. Для плоскости нужно было определить точки пересечения с осями координат: X = 4, у = 2, z = 3с. Итак, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 3. Согласно вышеуказанному правилу определяются прежде всего обратные величины:
1/n1 = 1/4, 1/n2 = 1/2, 1/n3 = 1/3.

Наименьший общий знаменатель n здесь 12. Этим самым определяется
h = n/n1 = 3, k = n/n2 = 6, l = n/n3 = 4.

Для обозначения плоскости совокупность координат h, k, l заключается в круглые скобки, искомая плоскость обозначается как (hkl). В примере речь идет, следовательно, о плоскости (364). Отрицательный индекс снова обозначается черточкой сверху, так что, например, индексирование (342) обозначает: h = -3, k = 4, l = 2.
Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры

Если плоскость параллельна одной из осей решетки, например а, то точка пересечения с соответствующей осью координат, например x-осью, находится в бесконечности. Тогда 1/n1 а = 0 и также h = 0. Плоскости, параллельные оси решетки а, следовательно, имеют индексирование (Qkl), плоскости, параллельные оси решетки b, имеют индексирование (h0l) и плоскости, параллельные оси решетки с, индексирование (hkО).
Аналогично исчезают два из трех индексов Миллера А, к, l для плоскостей, которые параллельны двум из трех осей решетки: плоскости, параллельные а и b, имеют индексирование (00l); плоскости, параллельные а и с, имеют индексирование (0k0); плоскости, параллельные b и с, имеют индексирование (А00).
Индексы Миллера для важных плоскостей в кубическом кристалле изображены на рис. 6.2.3. Здесь по аналогии с направлениями снова обнаруживается, что, например, шесть плоскостей куба
(100) (010) (001) (100) (010) (001)
на основании симметрии эквивалентны. Поэтому эквивалентные плоскости снова обозначаются общим символом. Для этого индексы Миллера h, k, l заключаются в фигурные скобки, и говорят об {hkl}-плоскостях. Так, шесть поверхностей куба называются, например, {100}-плоскостями. Если символы {111} и {110} распределятся аналогично, то получится восемь или двенадцать поверхностей, которые образуют октаэдр или додекаэдр и поэтому называются поверхностями октаэдра или додекаэдра.
Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры

Особый прием применяется иногда для гексагональных решеток: при описании элементарной ячейки с помощью трех равных по длине осей решетки a1, а2, а3, которые соответственно включают угол 120° и четвертую ось с, которая стоит на ней вертикально, вводится с обозначением а3 ось, равноценная осям a1 и а2 (рис. 6.2.4). Расширенные индексы Миллера (в связи с этим называемые индексами Миллера — Бравэ) обозначаются (hkii). При этом действует равенство h + k + i = 0. Соответственно a1 + a2 + a3 = 0.
Плоскости, занятые атомами в кристаллической решетке, называются сетевыми плоскостями. Из-за симметрии трансляции решетки равноценные (однорядно занятые атомами) параллельные сетевые плоскости имеют одинаковые индексы Миллера. Совокупность всех параллельных (hkl) сетевых плоскостей называется (hkl)-семейством параллельных плоскостей. Часто нас интересует расстояние между отдельными плоскостями множества сетевых плоскостей. Оно может быть вычислено из индексов Миллера h, к, l и параметров решетки а, b, с и обозначается dhkl. Для кубической решетки при этом образуется простое соотношение, для других решеток гораздо чаще имеются более сложные зависимости (табл. 6.2.1).
Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры

Определение направлений и плоскостей кристаллической структуры