» » Влияние внешнего напряжения
05.01.2015

Практически редко бывает, чтобы теплосмены не сопровождались одновременным приложением внешнего напряжения. Если оно постоянно, что соответствует простейшему случаю, то материал претерпевает деформацию сразу и от формоизменения, и от ползучести. В силу нелинейности основных уравнений, связывающих напряжения, деформации и время, есть основания полагать, что суммарное приращение размеров (ε) не подчиняется закону аддитивности. Иными словами, в общем случае можно написать равенство
Влияние внешнего напряжения

где Δε12 — добавочная деформация, имеющая причиной взаимодействие ползучести и формоизменения;
ε1 и ε2—деформации соответственно только от формоизменения и ползучести.
Как и прежде, мы будем измерять деформацию в пересчете на один цикл. Тогда (II. 46) целесообразно переписать так:
Влияние внешнего напряжения

где ε0 — общая деформация за одну теплосмену;
ε1 — деформация за цикл только от ползучести;
γ — коэффициент роста (без внешней нагрузки);
Δγ — добавочная деформация за цикл, связанная с взаимодействием ползучести и формоизменения (или связанная с влиянием внешнего напряжения).
Вообще говоря, вместо раздельного исследования γ и Δγ, удобнее взять их сумму
Влияние внешнего напряжения

рассматривая ее как формоизменение под напряжением. В пределе при малых нагрузках γ^ должно удовлетворять тривиальному соотношению
Влияние внешнего напряжения

где σ0 есть внешнее напряжение.
При теоретическом анализе влияния внешнего напряжения можно применить уже использованный ранее аппарат — соотношения (I.1)—(I.13), видоизменив лишь условия равновесия (I.11), (I,11а) и (I.13а). Они, очевидно, будут выглядеть соответственно так:
Влияние внешнего напряжения

В линейном приближении решение уравнений (I.4), (I.10), (II.50) находится легко и было выписано в работе. Для прямоугольно температурного цикла в установившемся режиме, когда деформация за цикл не зависит от числа предшествовавших теплосмен (т. е. на втором участке кривой ползучести), общее приращение размеров ε0 у двухэлементной модели (i=1, 2) равно сумме
Влияние внешнего напряжения

где γ — коэффициент роста, определяемый выражением (I.27). Параметр μσ составляет
Влияние внешнего напряжения

В (II. 54) введены обозначения
Влияние внешнего напряжения

ηi (i = 1, 2) и ξ (Tk) (k = 0,1) определены уравнениями (I.8) и I.28). Кроме того, как и прежде, t0 и t1 — времена пребывания образца при нижней (T0) и верхней (T1) температурах цикла.
Как и следовало ожидать, в линейном приближении общая деформация ε0 равна сумме деформаций только от формоизменения γ и только от ползучести μ0σ0. В этом смысле уравнение (II. 53) не годится для анализа взаимодействий указанных двух механизмов деформации. Однако (II.53) позволяет усмотреть один новый эффект, который принципиально нельзя не учитывать при использовании в качестве исходных предпосылок системы уравнений (I.6), (I.10), (II. 50), содержащих более правдоподобное, нежели (I. 4), нелинейное соотношение (I. 6). Дело в том, что хотя при отсутствии формоизменения, когда Δα=0, приращение размеров складывается только из деформации ползучести μσσ0, оно, тем не менее, не равно таковой, полученной усреднением по форме цикла. На втором участке кривой ползучести, которому и отвечает уравнение (II. 53), средняя деформация за цикл εср составляет
Влияние внешнего напряжения

и не совпадает, как видно из (II. 53) и (II. 54), с μσσ0. Их разница Δε
Влияние внешнего напряжения

не зависит от анизотропии коэффициента термического расширения (или дисперсии Δα) и поэтому не связана с формоизменением. Можно показать, что она обусловлена воспроизведением от цикла к циклу нестационарности (первого участка) на кривых ползучести, которое имеет место даже в квазиустановившемся режиме, когда деформация уже не зависит от числа предшествовавших теплосмен. Впрочем, при больших дисперсиях Δα, а в нелинейном приближении (как будет видно ниже) при малых (σ0≤ΔQ/2γ) и больших (σ0≥ΔQ/2γ) напряжениях добавочная деформация Δε мала как в сравнении с ε01 и γ, так (при больших σ0) и с Δγ. Поэтому в дальнейшем ее можно будет отбросить. Отметим лишь, что она непосредственно не связана с нелинейностью приближения, хотя и зависит от последнего.
Выпишем теперь решение, годное для системы уравнений (I.6), (I.10) и (II. 50), содержащих основное нелинейное соотношение (I.6). He составляет особого труда показать, что в установившемся режиме решение для двухэлементного нелинейного приближения и для прямоугольного температурного цикла записывается в следующей несложной, хотя и громоздкой форме:
Влияние внешнего напряжения

Здесь параметры B0 и B1 находятся из системы двух нелинейных уравнений
Влияние внешнего напряжения

Кроме того, помимо прежних обозначений, введены новые:
Влияние внешнего напряжения

Нетрудно показать, что εс и εс суть скорости течения на втором участке кривой ползучести соответственно при нижней (T0) и верхней (T1) температурах цикла. Поэтому деформация за цикл (εср)в установившемся режиме и без учета формоизменения, взаимодействия ползучести с формоизменением и воспроизведения нестационарности от цикла к циклу составляет
Влияние внешнего напряжения

содержит в себе как формоизменение под напряжением (γ), так и компоненту, связанную с воспроизведением нестационарности (Δε). Как уже отмечалось выше, Δε обычно мало (редко превышает 10в-5 относительной деформации за цикл), так что есть основания с хорошим приближением считать
Влияние внешнего напряжения

При ограниченном периоде цикла, когда и t0 и t1 малы, анализировать систему уравнений (II. 58)—(II. 61) затруднительно, поэтому ниже мы рассмотрим лишь предельный случай, когда t0≥τ0 и t1≥τ1. Для таких условий три уравнения (II. 58), (II. 59а) и (II. 59б) с учетом (II. 61) и (II. 62) переписываются в такой форме:
Влияние внешнего напряжения
Влияние внешнего напряжения

Отсюда сразу вытекает, что при Δα=0, т. е. когда формоизменения нет и по определению γ^=0, параметр γ^1 действительно отличен от нуля. Он равен составляющей деформации Δε, которая обусловлена воспроизведением нестационарности
Влияние внешнего напряжения
Влияние внешнего напряжения

Однако эта деформация Δε, как уже было сказано выше, невелика. Она стремится к нулю в двух предельных случаях: σ0≤ΔQ/2γ и σ0≥ΔQ/2γ. Максимум в несколько тысячных процента относительных единиц достигается около точки σ0≈ΔQ/2γ, когда γ^ уже заметно больше нуля. Малость Δε (в сравнении с γ при значительных дисперсиях коэффициента теплового расширения Δα) обусловлена тем, что в первом приближении практически имеет место равенство
Влияние внешнего напряжения

Так, даже в наиболее неблагоприятном сочетании ΔQ и σ0, когда ΔQ≈2γσ0, из (II. 64) с учетом неравенства ΔQ≥RT следует, что критерий
Влияние внешнего напряжения

почти не отличается от единицы. Например, приняв T0 = 300° C, T1 = 600° С, γ = 2 ккал*мм2/моль*кГ, Е = 2*10в4 кГ/мм2, получим
Влияние внешнего напряжения

По порядку величины Δε составляет примерно RT/γE. Высказанные здесь соображения позволяют значительно упростить уравнение (II. 62). Пренебрегая величинами порядка RT/γE, можно (II. 62) переписать так:
Влияние внешнего напряжения

При Δα≥0 (II.65) равно
Влияние внешнего напряжения

При Δα≤0 получается несколько иное равенство
Влияние внешнего напряжения

В (II. 66б) Да взято по модулю. Даже при ΔQ=0, когда обычное формоизменение не имеет места, (II. 65) отлично от нуля и в среднем составляет
Влияние внешнего напряжения

В дальнейшем (II. 66а), (II. 666) и (II. 66в) будут приняты в качестве основы для анализа формоизменения под внешним напряжением.
Совершенно очевидно, что составленные здесь равенства в пределе при σ0→0 переходят в обычные соотношения, описывающие необратимое тепловое формоизменение. Так, система нелинейных уравнений (II. 58), (II. 59а) и (II. 59б) при σ0=0 полностью эквивалентна уравнениям (I. 33), (I. 33а) и (I. 33б), а (II. 62), (II. 65) или (II. 66а) и (II. 666) совпадают с (I. 31) или с (I. 34) и (II. 9) при L→I.
Анализ уравнений (II. 62) или (II. 65), (II. 66) позволяет сделать несколько общих заключений. Прежде всего, как это следует из (II. 66в), формоизменение под напряжением имеет место даже тогда, когда дисперсия энергии активации AQ равна нулю. Такой результат весьма важен, так как наложение внешнего напряжения устраняет одно из необходимых ранее условий направленного роста при теплосменах. Если при отсутствии внешнего усилия требовалась конечная неоднородность по энергиям активации или неодинаковая температурная зависимость времен релаксации напряжений в зонах, где они взаимно уравновешивались, то при его наличии достаточно лишь неоднородности по коэффициенту термического расширения (Δα≠0).
Внешнее напряжение делает ненужным и еще одно ранее необходимое условие формоизменения. Ранее было показано, что рост изделий при циклическом термическом воздействии возможен лишь у материалов, обладающих макроанизотропией. Прежде единственной причиной макроанизотропии была текстура. Следовательно, при ее отсутствии не могло быть и формоизменения. Однако теперь преимущественное направление может быть определено полем внешних напряжений, так что наличие текстуры необязательно. В этой связи несколько меняется и смысл коэффициентов ΔQ и особенно Δα. Если, например, раньше Δα было однозначно связано с преимущественной ориентировкой кристаллитов, то в поле внешних напряжений дисперсия Δα должна, видимо, иметь промежуточное значение между прежним и средним по спектру, учитывающее все направления.
Разумеется, сказанное не означает, что γ^ не зависит от текстуры. Наоборот, она оказывает огромное влияние (в области малых и средних напряжений). Это влияние гораздо сложнее, чем в случае формоизменения без нагрузки. Так, при σ0=0 изменение знака Δα за счет текстуры сопровождалось только сменой знака коэффициента роста γ и не сказывалось на его абсолютном значении. Если же σ0≠0, то меняется и величина γ и характер зависимости ее от напряжения. На фиг. 62 построены соответствующие кривые для одного из частных решений уравнений (II. 66) [для ΔQ=6RT0, Δα≥0 и Δα≤0 и для ΔQ=0]. Как видно, кривые 1, 2, 3, отвечающие различным текстурам, не только не накладываются друг на друга, но даже имеют различный ход. Интересно, что при малых напряжениях 2γσ0/ΔQ≤1 (на фиг. 62 порядка Δσ≈RT0/γ) наибольший коэффициент роста γ^ имеет материал, лишенный текстуры (ΔQ=0), в то время как при σ0=0 он вообще не растет. He менее поразительно и то, что хотя при малых напряжениях устойчивее против роста образцы, у которых Δα≤0 (и, следовательно, lim γ^ = γ0≤0), при больших напряжениях изменению формы лучше сопротивляются те из них, у которых Δα≥0. Возможно также и такое сочетание свойств материала (при Δα≤0), когда образцы под растягивающей нагрузкой не только не удлиняются, но даже сокращаются!
Влияние внешнего напряжения

Здесь необходимо подчеркнуть, что при выводе уравнении (II. 58), (II. 59а), (II. 59б) предполагалось априори ΔQ≥0 и σ0≤0. Поэтому (II. 66а) и (II. 66б) были составлены для Δα≥0 и Δα≤0, как единственных параметров, знак которых не был заранее оговорен. Ho совершенно очевидно, что как Δα, так и ΔQ и тем более σ0 могут быть как положительными, так и отрицательными. Если бы перемена знака любого из параметров Δα, ΔQ или σ0 не сопровождалась изменением абсолютного значения коэффициента роста под напряжением, то проблема была бы тривиальной. На самом деле смена знака вышеуказанных переменных (как видно из фиг. 62 на примере Δα) в состоянии повлиять даже на вид функциональной зависимости γ^=γ^ (Δα, ΔQ, σ0, T0, T1). В силу этого нужно сказать хотя бы несколько слов о роли знака дисперсии AQ и внешнего напряжения σ0.
He составляет особого труда показать, что если в уравнениях (II. 66а) и (II. 66б) переменным Δα, ΔQ и σ0 придается абсолютное значение, то знак коэффициента роста γ^ и его функциональный вид полностью определяются знаком каждого из параметров Δα, ΔQ или σ0. В табл. 14 показано, какой приближенной функцией описывается формоизменение в зависимости от того, больше или меньше нуля Δα, ΔQ или σ0.
Легко видеть, что выбор функции — γ^+ или γ^- — однозначно связан со знаком произведения ΔαΔQσ0. В сущности кривая 2 на фиг. 62 относилась к ΔαΔQσ0≥0, а кривая 3 — к ΔαΔQσ0≤0 (с учетом знака перед γ^).
Влияние внешнего напряжения

Табл. 14 позволяет сделать один неожиданный вывод, что перемена направления действия внешнего усилия в текстурованных материалах приводит не только к иной величине формоизменения, но и к новой его функциональной зависимости от напряжения!
Из главных закономерностей, предсказываемых полученными здесь уравнениями, исключительно важна общая тенденция развития формоизменения преимущественно в сторону приложенного напряжения. Соотношения (II. 66), табл. 14 и фиг. 62 достаточно наглядно показывают, что при больших внешних усилиях величина и знак коэффициента роста перестают зависеть как от знака Δα и ΔQ, так даже и от величины ΔQ: коэффициент роста стремится к некоторому максимальному значению, равному дисперсии теплового расширения
Влияние внешнего напряжения

Практическая ценность этого вывода несомненна, так как он дает основания опасаться катастрофического увеличения «эффективной скорости ползучести» при теплосменах. К тому есть веские основания, поскольку γ^max обычно на 1—2 порядка превышает формоизменение без внешнего напряжения. Так у урана при T0=50° С, T1=550° С, ΔQ = 4,4 ккал/моль и Δα = 1,7*10в-5 1/град.
Изменение скорости ползучести урана при теплосменах замечено и при малых и при больших интервалах температур. Например, по данным А. А. Бочвара, Г. Я Сергеева и В. А. Давыдова термоциклирование в процессе ползучести урана от 180 до 550° С приводит к повышению скорости деформации в несколько раз.
В полном соответствии с фиг. 62 авторы работы наблюдали увеличение средней скорости ползучести как у образцов, рост которых (без нагрузки) был направлен в сторону действия напряжения, так и у образцов, имевших противоположный знак формоизменения.
Влияние внешнего напряжения

В табл. 15 собраны некоторые экспериментальные данные.
В последней строке табл. 15 выписаны разности деформаций ползучести при теплосменах и без таковых. Как видно, эта разность, являющаяся по существу формоизменением под внешней нагрузкой, во всех случаях заметно возрастает с напряжением. Так, во второй серии образцов переход от напряжения в 0,8 кГ/мм2 к напряжению в 4 кГ/мм2 способствовал увеличению ε0-ε1 с 1,85 до 55,4% за 140 циклов, или в среднем с 13*10в-5 1/цикл до 395*10в-5 1/цикл. В то же время формоизменение без нагрузки составляло лишь 0,8% или 5,7*10в-5 1/цикл.
В полном согласии с развитой выше теорией при малых напряжениях оказались более стабильными образцы, у которых рост без нагрузки был отрицателен (плавка Б), при больших же — те из них, у которых он был положителен (плавка В). В этом легко убедиться как по данным табл. 15, так и, в особенности, из рассмотрения фиг. 64, построенной в соответствии с расчетами в последней колонке табл. 15.
Влияние внешнего напряжения

Если иметь в виду только ту долю деформации, которая связана с формоизменением под нагрузкой, то бесспорно, что в целом она тем больше, чем выше приложенное напряжение; во всяком случае при значительных внешних усилиях (σ0≥ΔQ/2γ) она должна достигать (примерно) величин порядка ΔαΔТ.
Влияние внешнего напряжения

Однако к этой же проблеме можно подойти и с иной стороны. С инженерной точки зрения вместо оценки формоизменения под напряжением целесообразнее учитывать общую деформацию, рассматривая ее как результат ползучести в переменном температурном поле. При этом в качестве критерия изменения скорости ползучести имеет смысл выбрать не абсолютное, а относительное ее увеличение (или уменьшение), т. е. величину ε0/εср, где εср — скорость ползучести, найденная усреднением по форме цикла, а ε0 — реально наблюдаемая при ползучести в переменном температурном поле.
Влияние внешнего напряжения

Так, в установившемся режиме
Влияние внешнего напряжения

Если ΔТ велико, a t0≈t1, то (II. 69) можно записать еще проще
Влияние внешнего напряжения

Тогда для больших γEΔαΔT/2RT, ΔQ=0 и t0≥τ0, a t1≥τ1 в соответствии с (II. 66б) и (II. 66в) получается очень удобный критерий для оценки относительного увеличения скорости ползучести при теплосменах
Влияние внешнего напряжения

Формулы для ΔQ≠0 и Δα≤0 или Δα≥0 составляются также легко из (II. 65) или (II. 66а) и (II. 66б).
На фиг. 65 показано, как критерий б связан с напряжением. Кривые построены для различных сочетаний ΔQ и Δα.
Легко видеть, что если абсолютное изменение скорости ползучести (фиг. 62) в целом увеличивалось с напряжением, то относительное имеет тенденцию затухать.
Конкретный ход функции δ^=δ^(σ0) довольно сложен (зависит от текстуры), но совершенно очевидно, что опасаться вредного влияния теплосмен следует при малых, а не при больших внешних усилиях. К такому же выводу пришел в свое время и Андерсон. В табл. 16 представлены опытные данные, полученные на уране при испытании, на растяжение в течение 1000 час. при периоде цикла 4 часа и aмплитудe, равной 5 и 10°C.
Влияние внешнего напряжения

Как видно, относительное увеличение скорости ползучести действительно становится меньше при больших напряжениях. Так, при σ0 = 0,3 кГ/мм2 и ΔT = 20°С ε0/εср = 6,39, а при σ0 = 1,7 кГ/мм2 — всего лишь 2,41. Найденные экспериментально величины ε0/εср неплохо совпадают с вычисленными Андерсоном теоретически. Они приведены в табл. 16.
Влияние внешнего напряжения

Величины согласуются и с уравнениями (II. 60б), (II. 66) и (II. 68), хотя опытных данных слишком мало, чтобы их хватило для полной проверки теории.
Следует заранее оговорить, что выведенные в этом параграфе формулы вряд ли покажут хорошее количественное совпадение с экспериментом, так как исходные предпосылки слишком схематичны, а двухэлементное приближение явно недостаточно, чтобы заменить собой весь спектр по энергиям активации и тепловому расширению. Однако, по нашему мнению, развитая здесь теория годится для качественных сопоставлений и предсказаний, так что приходится только сожалеть, что до сих пор отсутствуют прямые и широко поставленные эксперименты, с которыми можно было бы ее сравнить.