» » Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений
05.01.2015

Наличие достаточно больших температурных напряжений является первым необходимым условием необратимого теплового формоизменения (если его механизм есть релаксация напряжений). Предполагая, что оно выполнено, зададимся вопросом: в какую же сторону будет расти изделие? Если все направления равноценны с точки зрения физических свойств материала, поля действующих напряжений и внешних условий эксперимента, определяющих поле температур, а малые случайные отклонения любой совокупности из этих параметров от их номинального значения недостаточны для лавинообразного нарастания формоизменения, то последнее, как легко видеть, вообще будет отсутствовать независимо от величины температурных напряжений, интенсивности их релаксации и т. п. Таким образом, вторым необходимым условием формоизменения должна быть своеобразная «анизотропия» совокупности параметров, характеризующих эксперимент.
Если формоизменение вызвано напряжениями первого рода, а материал изотропен, то характерное направление однозначно определяется распределением поля температуры и поля напряжений по сечению. Обычно образец бывает помещен в среду, температура которой периодически изменяется; тогда такое направление связано с геометрией внешних форм изделия. Например, для цилиндра — это осевая координата; для пластинки — нормальная и т. п. При других вариантах температурного воздействия геометрия изделия оказывается лишь дополнительным фактором, а определяющими могут быть условия нагрева и охлаждения. Этот случай реализуется, скажем, при локальном пульсирующем нагреве тела языком пламени. Анизотропия ярко выражена также в слоистых и текстурованных материалах.
Нередко необратимое тепловое формоизменение есть следствие релаксации температурных напряжений второго рода (разница в расширении фаз, фазовое превращение, анизотропия теплового расширения). Здесь уже ни внешние условия опыта, ни геометрия изделия не могут быть определяющими. В самом деле, градиент температуры по сечению автоматически предполагается отсутствующим, следовательно, при любых режимах нагрева и охлаждения температура одинаково изменяется по всему объему тела и никаких особых направлений выделить нельзя. Поле внутренних напряжений взаимно уравновешено в микроскопически малых по сравнению с внешними размерами тела областях, так что ни симметрия поля, ни условия равновесия не имеют прямой связи с внешней формой образца. Лишь близлежащие к поверхности слои находятся в особых условиях, но их влиянием на поведение массивных тел можно пренебречь. В таком случае характерные направления однозначно связаны с наличием текстуры. Материалы не текстурованные не должны, следовательно, изменять свою форму. Здесь следует уточнить, что текстуру мы понимаем в широком смысле слова, имея в виду макроанизотропию образца в целом. Она может быть связана не только с преимущественной кристаллографической ориентировкой, но и с другими факторами. Так, если в расположении фаз в многофазных материалах имеется своеобразный «дальний порядок», то эта будет одновременно означать и анизотропию в целом. Разумеется, такое правильное расположение невозможно в сплавах, но легко реализуется в искусственных конгломератах. Примером может служить железобетон.
Предположим теперь, что и второе необходимое условие формоизменения — наличие преимущественного направления — реализовано. Каким образом может быть тогда решена задача о необратимом тепловом изменении размеров? Прямой путь заключается, очевидно, в составлении и последующем решении уравнений механики сплошных сред. Методы обычной математической теории пластичности не могут дать при этом желаемый результат, поскольку релаксация напряжений явно протекает длительно, а в случае напряжений второго рода существенна еще и анизотропия свойств кристаллов. В целом проблема кажется очень трудной из-за огромного объема математических вычислений (даже при простейших предположениях); практическая ценность таких вычислений была бы очевидно невелика, так как принципиально важные предпосылки, которые следует положить в основу расчетов, еще далеко не ясны. Поэтому мы выберем окольный путь.
Проблема предельно упрощается, если тензорные соотношения механики сплошных сред заменить эквивалентными скалярными уравнениями, эффективные коэффициенты которых так подобраны, чтобы получающееся решение было достаточно близко к точному. Если при формоизменении структура материала существенно не изменяется, то коэффициенты эквивалентных уравнений будут постоянны. Претендуя лишь на качественный результат, можно вообще отвлечься от конкретного цифрового значения констант уравнений. Этот последний вариант фактически и будет нами положен в основу «релаксационной» теории формоизменения.
Разумеется такая методика не позволяет «механически» описать во всех деталях явление необратимого изменения размеров, но она будет правильно учитывать роль внешних условий эксперимента и свойств материала. Второе необходимое условие формоизменения предполагается при этом выполненным. Ниже будет показано, что третье необходимое условие формоизменения требует определенной зависимости физико-механических свойств от температуры. Это условие неодинаково для различных механизмов «роста».
Исходные уравнения. Пусть рассматриваемый материал состоит из совокупности областей, характеризующихся различными параметрами (температура, тепловое расширение, упругость, вязкость, напряжение, деформация и т. п.). Этими областями могут быть, например, отдельные фазы в гетерогенных системах, отдельные зерна в поликристаллах, поверхностные и сердцевинные зоны быстро нагреваемых или охлаждаемых тел, однородные объемы искусственно созданных неоднородных материалов вроде биметаллов или железобетона и т. п. Каждую из них нетрудно охарактеризовать уравнением состояния, связывающим всю совокупность параметров
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь хi — набор параметров, относящихся к данной области;
i — вспомогательный значок, позволяющий пронумеровать параметры.
К уравнению (I.1) следует добавить также условие сплошности
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

и уравнение равновесия
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где εi и σi — соответственно деформация и напряжение в i-м элементе.
Выражения (I. 1), (I. 2), (I. 3) в совокупности с начальными условиями достаточны для решения поставленной задачи, нужно лишь расписать их в явном виде. Однако при этом возникают принципиальные трудности, так как при сделанных выше оговорках уравнения (I.1)—(I.3) не могут быть выведены, и приходится исходить как из физических, так и из интуитивных соображений.
В линейном приближении равенство (I. 1) выглядит наиболее просто
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

σi — напряжение;
Ei — модуль упругости;
ηi — коэффициент вязкости;
αi — коэффициент теплового расширения;
Ti — температура;
t — время;
δi — скорость изменения е, вызванная фазовыми превращениями, и т. п.
Точка сверху означает производную по времени, а индекс i показывает, что данный параметр относится к i-му элементу (области). Температура также снабжена индексом i, так как в общем случае она неодинакова для различных областей (например, край и сердцевина изделия).
В предельном варианте области могут быть распределены непрерывно и тогда (I. 4) перепишется так:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где внутренний параметр i является переменной, способной принимать любое значение в пределах imin≤i≤imax.
Опыт показывает, что уравнения (I.4), (I.4а) могут правильно описывать свойства твердого тела, но лишь при сравнительно малых приложенных напряжениях. Если же последние велики, то второй член правой части уравнения (I.4), характеризующий, как нетрудно видеть, закон вязкого течения, должен быть заменен более сложным выражением. В теории активированных комплексов, подтвержденной экспериментами, показано, что скорость вязкого течения можно описать выражением
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где А и γ — некоторые константы;
Q — энергия активации ползучести;
R — универсальная газовая постоянная.
Приняв в качестве исходной предпосылки равенство (I.5), перепишем (I.4) в более универсальной форме
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

или при непрерывном изменении параметра i
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Очевидно, при малых напряжениях формулы (I.6), (I.6а).непосредственно переходят в (I.4), (I.4а), в чем легко убедиться, разлагая гиперболический синус в степенной ряд и ограничиваясь членами первого порядка малости. Например, из (I.6а) следует
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Сравнивая (I.4a) с (I.7), получим
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

При температурах, превышающих 0,5 абсолютной температуры плавления, лучшее приближение, нежели (I.5), вероятно, будет иметь место, если sh*γσ/RT заменить на shασ, где α — некоторая константа, не зависящая от температуры. Тогда (I.8) приобретет вид
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Из (I. 8) и (I. 9) следует, что η (i) очень сильно зависит от температуры. Как мы увидим ниже, это приводит к важным результатам. В дальнейшем, ради упрощения математических вычислений, мы в первом приближении будем предполагать, что упругие свойства Ei и тепловое расширение αi- не изменяются с температурой.
Распишем теперь в явном виде условия сплошности (I.2) и уравнения равновесия (I.3). Простейшее предположение, и мы его примем в дальнейшем, заключается в том, что деформации всех областей равны между собой, т. е.
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

или при непрерывном изменении параметра
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Поскольку поле внутренних напряжений взаимно уравновешено, то условие равновесия (I.3) может быть переписано в такой простой форме
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где Pi — функция плотности распределения.
При непрерывном распределении параметра i сумма (I.11) заменяется интегралом
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Заканчивая на этом описательную часть, отметим, что если ввести диагональные матрицы
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

и дифференциальный оператор
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

то уравнения (I.4), (I,.10) и (I.11) могут быть представлены в следующей сжатой форме:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где символ Tr означает след матрицы.
Для решения уравнений (I.4), (I.4а), (I.6), (I.6а) и (I.13) в совокупности с (I.10), (I.10а), (I.11), (I.11а) и (I.13а) прежде всего необходимо исключить входящие в них напряжения σi. Для этого следует из (I.4), (I.6), (I.4а), (I.6а) или (I.13) найти σi (t) или σ (i, t) и подставить их соответственно в (I.11), (I.11а) или (I.13а). В результате получится уравнение для е (t), которое в дальнейшем и необходимо исследовать. В качестве примера составим уравнение для ε (t), приняв за исходные предпосылки равенства (I.4), (I.10) и (I.11). Из (I.4) и (I.10) легко находим
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

И далее из (I.14) и (I.11) получим окончательное уравнение
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где аi — постоянная интегрирования;
x и z — переменные интегрирования.
Если внутренний параметр i изменяется непрерывно, то из (I.4а), (I.10а) и (1.11а) аналогичным путем легко найдем
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

В (I.15) и (I.15а) все, кроме искомой деформации ε (t), уже известно, и задача, таким образом, сводится к решению полученных уравнений. Однако уравнения (I. 15) и (I.15а) решить не так просто, поэтому мы ограничимся лишь простейшим случаем, когда число рассматриваемых элементов сокращено до двух (i=1, 2). Помимо облегчения решения, при этом будет достигнута и максимальная его наглядность. Для двухэлементной модели, пренебрегая для простоты членом δi (t), уравнение (I.15) переписывается так:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

В таком виде оно решается уже элементарно, чем мы и займемся в следующем параграфе
Если в качестве исходного равенства принять (I.6), то дифференциальное уравнение даже для двухэлементной модели получается сложным, а расчеты удается провести до конца лишь при добавочных упрощающих предположениях (например, для прямоугольного температурного цикла). Ради иллюстрации мы все же выпишем это окончательное выражение, опустив все промежуточные выкладки и опять отбросив член δi (t), учитывающий фазовое превращение
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь введены обозначения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Кроме того, для простоты положено γ1=γ2=γ и T1=T2=T (t), а точки сверху, как и прежде, означают производные по времени.
В заключение этого параграфа нужно подчеркнуть, что при очень больших действующих напряжениях не только равенство (I.4), но и (I.5) перестает выполняться, а деформация происходит настолько быстро, что фактор времени удается учесть лишь с большим трудом. Поэтому целесообразно воспользоваться представлениями обычной теории пластичности, не принимающей во внимание длительность процесса. Простейшее предположение, очевидно, состоит в том, что напряжения в элементах не могут превысить некоторый предел (предел текучести)
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

а деформации складываются из упругих и пластических при соблюдении условий (I.10), (I.11) и (I.19).
В последующих разделах мы проанализируем и такую возможность формоизменения.
Формоизменение как результат релаксации напряжений, вызванных анизотропией коэффициента термического расширения или разницей в расширении соседних фаз. Здесь следует считать T1(t)=T2 (t)=T(t), так как иначе нельзя избавиться от напряжений, порождаемых градиентом температуры по сечению; необходимо отбросить также и член δi (t). Введя далее обозначения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

перепишем (I.16) в виде
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Такое линейное дифференциальное уравнение легко решается в общем случае. В самом деле, скорость деформации (формоизменения) находится сразу
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

откуда после интегрирования получим и самую деформацию
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где х, у, z — переменные;
ε0 и ε0 — постоянные интегрирования.
При общих предположениях ε, как легко видеть, является нарастающей или убывающей функцией времени, а ее конкретное значение зависит от постоянных ε0 и ε0. Поскольку наибольший интерес представляет установившийся режим, когда деформация за один температурный цикл (коэффициент роста γ) одинакова от цикла к циклу и, следовательно, может нарастать неограниченно, то мы сначала отыщем постоянные интегрирования только для этого варианта. Очевидно, что в установившемся стационарном режиме имеет место соотношение
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где n — любое целое число; τ — период цикла.
В частности, при t=0 и n=1 (I.24) переходит в наиболее простое равенство
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Тогда в соответствии с (I.22) и (I.24а) получим
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

что позволяет найти постоянную интегрирования ε0,
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Наконец из (I.23) и (I.25) коэффициент роста у приобретает вид
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

При самых общих предположениях он не равен нулю. Это принципиально важный вывод, свидетельствующий о возможности практически неограниченного нарастания деформации, когда образец находится в переменном температурном поле, порождающем тепловые напряжения. Ho при любых ли сочетаниях свойств материала произойдет необратимое нарастание деформации? На этот вопрос трудно ответить, используя формулу (I.26), которая становится очень громоздкой, если в ней раскрыть P(t) и Q(t) через (I. 20) и далее ηi(T) через (I.8). В выражении (I.26) собственно физические следствия завуалированы широкими предположениями о форме температурного цикла. Формула (I.26) дает решение для любого периодического и физически реального изменения температуры. И только в том случае, когда температура изменяется скачком, производная dT(t)/dt обращается в бесконечность, и коэффициент
роста может быть вычислен лишь с большими предосторожностями. Чтобы избавиться от необходимости учитывать форму цикла, целесообразно выбрать простейший цикл, например, прямоугольный. Это не должно повлиять на общий вывод, касающийся необходимого сочетания свойств материала, достаточного для развития незатухающего процесса формоизменения в одном направлении.
Ограничиваясь прямоугольным температурным циклом, нетрудно получить для коэффициента роста следующее выражение:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь t0 — время пребывания образца при нижней температуре
цикла;
t1 — время пребывания образца при верхней температуре цикла;
T0 — нижняя температура цикла;
T1 — верхняя температура цикла;
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Теперь третье необходимое условие формоизменения непосредственно вытекает из (I.27). В самом деле, если выполняются тривиальные условия: 1) t0 и t1 не равны нулю одновременно; 2) α2 — α1≠0; 3) T1-T0≠0, то коэффициент роста отличен от нуля лишь тогда, когда λ(T1)≠λ(T0), т. е. если отношение времен релаксации зависит от температуры. Таким образом, третье необходимое условие формоизменения требует определенного соотношения между временами релаксации (т) областей, напряжения в которых взаимно уравновешиваются. В противном случае — когда отношение времен релаксации остается постоянным при перемене температуры — коэффициент роста должен быть равен нулю, даже если температурные напряжения присутствуют, а времена релаксации являются функциями температуры.
В соответствии с (I.8) или (I.9) и (I.28) отношение времен релаксации элементов i и k может быть записано в виде
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где ΔQik=Qk-Qi представляет собой разность энергий активации областей i и k (в дальнейшем выберем ΔQik≥0).
Поскольку константы В, А и γ не зависят от температуры, то λik (T) изменяется с температурой лишь при ΔQik≠0. Это дает новую формулировку третьего необходимого условия формоизменения: последнее возможно, если поведение материала характеризуется спектром энергии активации. Точнее, если имеется дисперсия энергии активации. При этом коэффициент роста сильно зависит от ширины спектра или, что то же, от дисперсии энергии активации. Сказанное становится наглядным, если равенство (I.27) переписать, предполагая, что ξ(T1)t1≥1 и ξ(T0)t0≥1:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где ΔT=T1-T0 и Δα=α2-α2.
Этот случай часто реализуется на практике, так как период цикла почти всегда выбирается большим. Легко видеть, что γ=0 при ΔQ=0. В частности, если ΔQ/RT≤1, то (I.30) упрощается еще больше:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

и коэффициент роста становится пропорциональным дисперсии ΔQ. Однако практически почти всегда больше единицы, и поэтому, учитывая, чтоA1γ1=A2γ2, формулу (I.30) следует переписать так:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь введено обозначение
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Поскольку γ0 слабо зависит от температуры, то для γ получается экспоненциальная зависимость от T1, а в координатах ln γ/γ0-1/T1 - прямолинейная.
Последний вывод прекрасно подтверждается экспериментально, причем дисперсия ΔQ для всех исследованных материалов (уран, цинк, кадмий, олово, висмут и т. п.) оказывается значительно ниже соответствующей энергии активации самодиффузии. Заметим также, что, положив A1γ1=A2γ2 и E1=E2, нетрудно переписать формулу (I.30) в следующем сжатом виде:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Это выражение в предельных случаях совпадает и с (I.30а) и с (I.30б), если в них считать A1γ1=A2γ2, и очень удобно при анализе температурной зависимости коэффициента роста.
Правомерно задать вопрос, как изменится формулировка третьего необходимого условия формоизменения, если вместо линейного приближения (I.4) и (I.4а) выбрать какую-либо более общую связь между параметрами, например, в форме (I.6) или (I.6а). Можно показать, что ни количество и распределение элементов, образующих спектр энергии активации, ни вид конкретной функциональной зависимости между деформацией и напряжением не влияют в принципе на формулировку необходимого условия формоизменения. При любых предположениях оно требует наличия неодинаковой зависимости времен релаксации от температуры или конечной дисперсии энергии активации элементов. Естественно, что конкретное выражение для коэффициента роста может быть различным в зависимости от исходных предпосылок.
В качестве примера, иллюстрирующего сказанное, приведем решение уравнения (I.17), в основу которого положены наиболее реальные соотношения (I.6). Избавляя читателя от необходимости следить за очень кропотливыми и громоздкими математическими выкладками, мы выпишем лишь окончательное выражение коэффициента роста γ в стационарном режиме. Если ввести обозначения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

то решение для прямоугольного цикла может быть представлено в виде
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

a x0 является корнем трансцендентного уравнения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

причем все остальные обозначения те же, что и выше.
В общем случае выражение (I. 33) анализировать трудно, поэтому можно ограничиться большим периодом цикла, когда ω(T1)t1≥1 и ω(T0)t0≥1. При таких предположениях корни x0 и x1 находятся элементарно, а для коэффициента роста получается выражение, совпадающее с формулой (I.30), которая была раньше выведена для линейного приближения. Аналогичный результат всегда имеет место л при любых других разумных предположениях.
Сопоставляя между собой уравнения (I.27), (I.30), (I.31) и (I.33) и учитывая, что все они при больших периодах цикла совпадают с (I.31), нетрудно сделать вывод о том, что при любых приемлемых предположениях о свойствах материала выражение для коэффициента роста можно представить в следующей приближенной форме.
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где L (T0, T1, t0, t1) — некоторая функция, зависящая от верхней и нижней температур цикла и изменяющаяся (по порядку величины) от нуля до единицы, когда время выдержки в высоко- и низкотемпературной зонах возрастает от нуля до значений, заметно больших времени релаксации. Конкретное выражение функции L определяется, очевидно, исходными предпосылками, положенными в основу расчета.
В заключение приведем формулу для коэффициента роста в стационарном режиме при циклическом температурном воздействии по прямоугольному циклу и в предположении, что пластическая деформация описывается только неравенством (I.19), а число областей уменьшено до двух. Она выглядит так:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Чтобы (I.35) имело место, необходимо выполнение следующих условий:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь введены обозначения:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Если хотя бы одно из условий (I.35а) не выполняется, коэффициент роста в стационарном режиме равен нулю.
Таким образом, и пластическая деформация, не протекающая во времени, может иметь своим следствием неограниченное формоизменение, хотя при этом и следует выполнить довольно жесткие требования в соответствии с неравенствами (I.35а).
Формоизменение как результат релаксации напряжений, обусловленных градиентом температуры по сечению тела. Чтобы избавиться в опытах с теплосменами от заметного градиента температуры, нужно быть искусным экспериментатором и проявить немало находчивости, поэтому напряжения, порождаемые неравномерностью теплового поля, являются частым спутником в подобных исследованиях; в других случаях наличие градиента температуры, а следовательно, и напряжений по сечению изделия, непосредственно вытекает из технологических и конструктивных требований, предъявляемых к машине, вследствие чего понимание хотя бы основных законов необратимого теплового формоизменения, вызываемого такими напряжениями, становится практически необходимым.
Теоретическую сторону вопроса мы рассмотрим опять лишь на примере двухэлементной модели, ограничившись линейным приближением в соответствии с уравнением (I.16). Отнесем область с индексом i=1 к сердцевине образца, а с индексом i=2 — к поверхности и будем считать, что температура в центре и на краю изделия изменяется по сходному периодическому закону, но с некоторым сдвигом фаз. Такая схема в грубых чертах должна воспроизводить картину поля температур и напряжений. Далее необходимо положить α1=α2=α0, так как тепловое расширение для рассматриваемого механизма формоизменения изотропно и может не зависеть от распределения напряжений и температуры. Аналогично и эффективные упругие константы E1 и E2 целесообразнее всего считать равными E1=E2=E и не зависящими от температуры. Различать их нет смысла, так как хорошо известно, что в пределах упругого нагружения очень точно соблюдается принцип суперпозиции, позволяющий, например, записать уравнения теории упругости в линейной форме и не учитывать влияние поля напряжений на упругие константы материала.
Сложнее обстоит дело с коэффициентами вязкости η1 и η2: во-первых, их нельзя считать одинаковыми функциями температуры, поскольку неупругие свойства твердого тела в сильнейшей степени зависят еще и от характера напряженного состояния, а последнее различно в центре и на поверхности изделия; во-вторых, они должны зависеть от времени не только через температуру, но и через поле напряжений, так как характер последнего все время изменяется (например, остаточные напряжения распределены иначе, нежели напряжения, действующие во время охлаждения).
В линейном приближении существенна не столько величина напряжений, сколько симметрия их поля.
Считая временно коэффициенты η1 и η2 не зависящими от поля напряжений и введя обозначения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

перепишем (I.16) в такой форме
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Сравнивая далее (I.37) с (I.21), нетрудно убедиться в их полной идентичности, поэтому по аналогии с (I.26) можно сразу записать решение для коэффициента роста γ в установившемся режиме (т. е. для случая, когда деформация за одну теплосмену уже не зависит от числа предшествовавших перемен температуры)
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

B (I.38), как и в (I.26), т является периодом цикла, х, y и z — переменными интегрирования.
В общем случае выражение (I.38) тождественно не равно нулю, что свидетельствует о возможности практически неограниченного нарастания или уменьшения размеров в одном направлении. Однако формула (I.38) слишком громоздка, чтобы имело смысл ее анализировать с целью отыскания необходимого условия формоизменения.
Поэтому, как и прежде, целесообразно выбрать прямоугольный температурный цикл.
Введем обозначения: T1 — верхняя температура цикла, T0 — нижняя температура цикла, ΔT=T1-T0; t01 — время существования градиента температуры при нагреве [т. е. время, в течение которого сердцевина изделия (i=1) находится при температуре T0, а край (i=2) — при температуре T1]; t10 — время существования градиента температуры при охлаждении, t00 — время пребывания образца в низкотемпературной зоне (т. е. когда сердцевина и край имеют температуру T0), t11 — время пребывания образца в высокотемпературной зоне. Тогда, после очень громоздких математических выкладок, можно вывести следующую формулу для коэффициента роста в установившемся режиме и теперь уже для условий, при которых время релаксации зависит от характера напряженного состояния:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

В выражении (I. 40) мы использовали восемь различных коэффициентов ηe(i,k) (Tm) (е=1, 2; i, k=0, 1; m=0,1) в соответствии с высказанными соображениями о их зависимости от симметрии поля напряжений и температуры. Принята следующая схема изменения этих параметров: η1 = η1°°(T0), η2 = η2°°(T0), когда температура центра и края изделия одинакова и равна T0; η1=η1в11 (T1), η2=η2в11(T1), когда температура центра и края изделия одинакова и равна T1; η1=η1в01(T0), η2=η2в01(T1), когда центр изделия находится при температуре T0, а край — при температуре T1; η1=η1в10 (T1), η2=η2в10(T0), когда центр изделия находится при температуре T1, а край при температуре T0.
Если ввести отношение времен релаксации λik
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

то выражение (I. 39) может быть переписано в более удобной для анализа форме
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Наконец, для предельного случая, когда ξ (T1, Tk)tik ≥ 1 (i, k = 0, 1), получим очень простую формулу
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

из которой отчетливо видно, что γ≠0 при произвольных соотношениях между параметрами λik. В простейшем варианте, когда коэффициенты вязкости обеих областей одинаковы [η1=η2=η(T)] и не зависят от напряженного состояния, имеем λik=(i, k = 0, 1), (i, k = 0, 1)а формулы (I.42) и (I.42а) соответственно переходят в такие выражения:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Учитывая далее равенства (I.8) и (1.9), найдем отношение времен релаксации при верхней и нижней температурах цикла
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

и тогда (I.43а) можно окончательно переписать так:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь Q является энергией активации, а не дисперсией, как было раньше в (I.30). Таким образом, формулировку третьего необходимого условия формоизменения (вызванного релаксацией температурных напряжений первого рода) следует видоизменить. Из (I.42)—(I.44) имеем, что γ≠0 лишь при условии λ10≠1.
Следовательно, необходимое условие формоизменений требует, чтобы время релаксации τ=η/E зависело от температуры или (что эквивалентно сказанному) чтобы энергия активации (I.45) была конечной величиной. Такое условие всегда выполняется.
Естественно задать вопрос: насколько развиваемая здесь теория подтверждается экспериментами? Несмотря на предельную схематизацию методики расчета коэффициента роста, в теории правильно учитываются основные стороны явления, и поэтому, как это будет видно ниже, при обсуждении опытных данных, она в состоянии объяснить (по крайней мере качественно) основную совокупность экспериментальных результатов, накопленных к настоящему времени. Подробно об этом мы будем говорить в другом месте. Есть все основания полагать, что, как это было показано ранее, приближенное выражение для коэффициента роста, годное для любых условий расчета, может быть представлено в виде
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где M (T0, T1, t00, t11, t01, t10)— некоторая математическая функция, конкретное выражение которой зависит от исходных предпосылок, заложенных в основу расчета; она должна по порядку величины изменяться от нуля до единицы при варьировании параметров t00, t11, t01 и t10 от величин, стремящихся к нулю, до значений много больших времени релаксации напряжений.
В заключение приведем выражение для коэффициента роста в стационарном режиме, когда напряжения вызваны градиентом температуры, пластическая деформация описывается неравенством (I.19), а накапливающаяся длительно вязкая деформация ничтожна в сравнении с обычной пластической. Для двухэлементной модели при термическом воздействии по уже описанному ранее прямоугольному закону, предположив, что σ1(m)=σ2(m)=σ(m) (T), получим коэффициент роста
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь x0=0 или 1; x1=0 или 1 и требуется выполнение условий
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Если хотя бы одно из условий (I. 47а) не выполняется, коэффициент роста в (I. 47) равен нулю.
Таким образом, необратимое тепловое формоизменение, порождаемое напряжениями, связанными с градиентом температуры, возможно и тогда, когда эти напряжения релаксируют путем обычной пластической деформации, в грубом приближении не протекающей во времени. Такой механизм формоизменения, возможно, определяет поведение ряда металлов, например, алюминия, α и β-латуней и др.
Формоизменение как результат релаксации напряжений, возникающих при фазовых превращениях. В ряде случаев металлы работают в переменном температурном поле, претерпевая многократные переходы через точки фазовых превращений. При таких условиях изделия могут претерпевать необратимое и нарастающее с теплосменами изменение размеров и формы. В результате возникают серьезные препятствия для эффективного использования материала. Поэтому исследование формоизменения, вызванного фазовыми превращениями, интересно не только с научной, но и с чисто практической точки зрения.
Рассмотрим это явление в линейном приближении на_ примере двухэлементной модели, ограничившись прямоугольным циклом и только стационарным режимом. Как и прежде, ради простоты положим E1= E2=Е, α1=α2=α0 и учтем в (I.4) не только тепловое расширение αiTi, но и δi(t), где δi(t) — скорость изменения объема при фазовом превращении. Обозначим условно фазы через α и β. Тогда, очевидно, можно задать следующую схему изменения параметров в уравнении (I.4): η1=η1в00 (α, T0), η2=η2в00 (α, T0), когда температура первой и второй областей равна T0 и обе области находятся в состоянии α-фазы; η1=η1в11(β, Т1), η2=η2в11(β, Т1), когда обе области находятся при температуре T1 в состоянии β-фазы; η1=η1в01 (α, Т0), η2=η2в01 (β, Т1), когда первая область находится в состоянии α-фазы при температуре T0, а вторая область — в состоянии β-фазы при температуре T1; η1=η1в10 (β, T1), η2=η2в10(α, T0), когда первая область находится при температуре T1 и в состоянии β-фазы, а вторая область — при температуре T0 и в состоянии α-фазы.
Здесь, как и при обсуждении формоизменения, вызванного температурными градиентами, принята во внимание зависимость коэффициентов вязкости от вида напряженного состояния. Нетрудно видеть, что использованная выше схема изменения параметров ηi совпадает с аналогичной схемой, положенной в основу вывода равенства (I.39) и (I.42). Поэтому, введя вместо (I.40) и (I.41) соотношения
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

где i, k = 0, 1, а l0=α и l1=β, мы можем по аналогии с (I.42) сразу написать выражение для коэффициента роста в установившемся режиме:
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Здесь введены следующие обозначения для t'ik (i, k = 0, 1):
t'00 — время, в течение которого обе области находятся в состоянии α-фазы и при температуре T0;
t'11 — время, в течение которого обе области находятся в состоянии β-фазы и при температуре T1;
t'01 — время, в течение которого первая область находится при температуре T0 в состоянии α-фазы, а вторая при температуре T1 в состоянии β-фазы;
t'10 — время, в течение которого первая область находится при температуре T1 в состоянии β-фазы, а вторая — при температуре T0 в состоянии α-фазы.
Кроме того, δ обозначено относительное изменение объема при переходе α-фазы в β-фазу.
В (I.49) приняты во внимание не только напряжения, возникающие из-за фазового превращения, но и напряжения, вызванные градиентом температуры по сечению, поэтому для отыскания необходимых условий формоизменения при фазовых превращениях равенство (I.49) анализировать нецелесообразно, тем более что фазовые переходы не всегда сопровождаются значительными неравномерностями теплового поля. В силу вышесказанного мы в дальнейшем положим α0ΔT=0 и будем считать, что температура колеблется только вблизи точки фазового перехода. Это позволяет не учитывать температурную зависимость времени релаксации на протяжении цикла и, следовательно, дает основания вообще положить T0≈T1≈Tпр где Tпр — температура фазового перехода. Наконец, ради упрощения формул положим ξ (li, Ti, lk, Tk) t'ik ≥ 1 (i, k = 0, 1). Тогда (I.49) перепишется в наиболее простой форме
Формоизменение как результат релаксации температурных напряжений

Совершен